Вычисление производной

Ранее речь шла о производной функции в точке. Производную функции можно также рассматривать и как собственно функцию.

Пусть, например, дано функцию $y = x^2$. Найдем ее производную в произвольной точке $x$. Для этого предоставим значению $x$ прирост $\Delta x$. Соответствующее ему приращение функции

$\Delta y={{(x+\Delta x)}^{2}}-{{x}^{2}}=2x\Delta x+{{(\Delta x)}^{2}}$

Потому $\Delta y/ \Delta x$
$\Delta y/ \Delta x = 2х + \Delta x$.
Если $\Delta x→0$, то $\Delta y/ \Delta x → 2x$.

Итак, производная функции $x^2$ в каждой ее точке $x$ равна $2x$. Записывают: $(x^2)'= 2x$, или если $у = x^2$, то $у' = 2x$.

Обратите внимание

Производная функции в точке – это число. Когда же говорят о производной без указания «в точке», имеют в виду производную как функцию: производной функции $y = x^2$ является функция $y = 2x$, производной функции $y = x^3$ является функция $y '= 3x^2$ и т. д.

Дифференцирование

Нахождение производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в точке $x_0$, называется дифференцированной в точке $x_0$. Функция, дифференцируемая в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Докажем, например, что линейная функция $y = ax + b$ дифференцируема в каждой точке $x$. Действительно, прироста $\Delta x$ ее аргумента $x$ соответствует приращению функции $\Delta y = a (x + \Delta x) + b - (ax + b) = a \Delta x$. Поэтому $\Delta y/ \Delta x = а· \Delta x/ \Delta x = a$; и если $\Delta x→0$, то $\Delta y/ \Delta x → а$.

А это и означает, что в каждой точке х функция $y = ax + b$ имеет производную $y' = a$. Записывают $(ax + b)' = a$. В частности: $x' = 1$, $b' = 0$. Производная постоянной равна нулю.

Полученный результат имеет очевидный геометрический смысл: касательная к прямой – графика функции $y = ax + b$ – это сама прямая, ее угловой коэффициент равен $a$.

Правила дифференцирования

При дифференцировании функций пользуются некоторыми правилами дифференцирования. Этих правил достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

Правило 1. Производная суммы

Если функции $u$ и $v$ дифференцируемы в точке $х$, то в этой точке $(u + v) '= u' + v'$.

Правило справедливо также для трех и более функций.

Например, $(u + v - w) '= ((u + v) - w)' = (u + v)' - w' = u' + v' - w'.$

Правило 2. Производная произведения

Если функции $u$ и $v$ дифференцируемы в точке $x$, то $(u · v) '= u'v + uv'$. Таким образом постоянный множитель можно выносить за знак производной. Ведь если $u = С$, где $С$ – постоянный множитель, то $u' = 0$ и по правилу о производной произведения $(С · v)' = С' v + С v' = С v'$ т.е. $(С · v)' = С v'.$

Правило 3. Производная частного

Если $u$ и $v$ – функции от $x$, дифференцируемые в точке $x$, причем в этой точке $ν$ не равно 0, то

${{\left( \frac{u}{v} \right)}^{\prime }}=\frac{{u}'v-u{v}'}{{{v}^{2}}}$

Правило 4. Производная степенной функции

Если $n$ натуральное число, то

$({{x}^{n}}{)}'=n{{x}^{n-1}}$

Из данных правил следует, что каждая функция $у = f(x)$ где $f(x)$ – многочлен, дифференцируема на всем множестве $R$. Поэтому каждый график такой функции – гладкая линия без разрывов и изломов. Если бы график функции в какой-то точке имел разрыв или излом, то в этой точке функция не имела бы производной, то есть не была бы дифференцируемой. Дробно-рациональная функция от $x$ дифференцируема в каждой точке $x$ ее области определения.

Примеры решения задач

Задача 1. Если $y = x^8$, то $y' = 8x^7$

Задача 2. Если $y = 5x^4$, то $y' =5·(x^4)'=5·4x^3 =20x^3$

Задача 3. Если $y = 2x^5 + 3x - 7$, то по правилу производной суммы $y' = (2x^5)' + (3x)' - (7)' = 10x^4 + 3$

Задача 4. Если $y=\frac{3{{x}^{2}}}{x-2}$, то по правилу производной дроби ${y}'=\frac{6x(x-2)-3{{x}^{2}}}{{{(x-2)}^{2}}}=\frac{3{{x}^{2}}-12x}{{{(x-2)}^{2}}}$

Заказать статью по математике у экспертов биржи Студворк!

Тест по теме «Вычисление производной»