Вычисление двойных интегралов

Что такое двойной интеграл

Двойной интеграл обобщает понятие определенного интеграла на случай функций двух переменных:

$z=f(x,y)$
и записывается так:

$I=\iint \limits_{D}f(x,y)\, dx\,dy$

где $D$-двумерная область, по которой происходит интегрирование функции $f(x,y).$

Для того чтобы вычислить двойной интеграл, переходят к повторному:

$\iint \limits_{D}f(x,y)\, dx\,dy=\int_a^b dx\int_{c(x)}^{d(x)}f(x,y)\ dy =\int_{a_1}^{b_1} dy\int_{c_1(y)}^{d_1(y)}f(x,y)\ dx$

Вычисляется повторный интеграл также, как и определенный, но поочередно: сначала внутренний, затем внешний.

Пределы интегрирования: $a,b$ - числа; $c,d$ - функции зависят от области $D$. Подробнее рассмотрим на примере.

Вычисление двойного интеграла: пример

Рассмотрим пример.

Задача: вычислить двойной интеграл функции $z=x^2y$ по обласли $D:x=1,y=x^2,y=3$}

Сначала нарисуем область:

Теперь запишем двойной интеграл через повторный, интегрируя сначала по $y$, потом по $x$:

$\iint \limits_{D}x^2y\, dx\,dy=\int_{a_1}^{b_1} dx\int_{c_1(x)}^{d_1(x)}x^2y\ dy$

Посмотрим на нашу область и найдем границы изменения $x$:

$y=x^2$ и $y=3$ пересекаются в точках $x_1=-\sqrt{3}, x_2=\sqrt{3}$.

Тогда $x$ лежит в пределах от $-\sqrt{3}$ до 1: $-\sqrt{3}\leq x\leq 1$

Теперь нам нужно найти границы изменения $y$, в зависимости от $x$.

Видно, что $y$ изменятется от параболы до прямой $y=3$. Или:

$x^2\leq y\leq 3$

Подставляем найденные пределы интегрирования в повторный интеграл и вычисляем его:

$\int_{-\sqrt{3}}^{1} dx\int_{x^2}^{3}x^2y\ dy=\int_{-\sqrt{3}}^{1} (\frac {x^2y^2}{2}|_{x^2}^3)dx=\int_{-\sqrt{3}}^{1} (\frac {9x^2}{2}-\frac{x^6}{2})dx=\frac {3x^3}{2}-\frac{x^7}{14}|_{-\sqrt{3}}^1=\frac{10+18\sqrt{3}}{7}$

Геометрическим смыслом вычисленного интеграла является объем фигуры с площадью основания – областью $D$ и высотой $h=z(x,y)=x^2y$.

Посчитаем этот же интеграл, изменив порядок интегрирования:

$\iint \limits_{D}x^2y\, dx\,dy=\int_{a_1}^{b_1} dy\int_{c_1(y)}^{d_1(y)}x^2y\ dx$

При $0\leq y \leq 1, -\sqrt{y}\leq x \leq \sqrt{y}$

При $1\leq y \leq 3, -\sqrt{y}\leq x \leq 1$

Имеем разные пределы интегрирования для разных частей области $D$.

Используя свойства двойного интеграла, можно разбить эту область на две:

$\iint \limits_{D}x^2y\, dx\,dy=\iint \limits_{D_1}x^2y\, dx\,dy+\iint \limits_{D_2}x^2y\, dx\,dy$

Переходим к повторным интегралам и вычисляем их:

$I_1=\int_0^{1} dy\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}x^2y\ dx=\int_0^{1} (\frac {x^3y}{3}|_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}})dy=\int_0^1 (\frac {y^2\sqrt{y}}{3}+\frac{y^2\sqrt{y}}{3})dy=\frac {4y^{3}\sqrt{y}}{21}|_0^1=\frac{4}{21}$

$I_2=\int_1^{3} dy\int_{-\sqrt{y}}^1x^2y\ dx=\int_1^{3} (\frac {x^3y}{3}|_{-\sqrt{y}}^1)dy=\int_1^3 (\frac {y^2\sqrt{y}}{3}+\frac{y}{3})dy=\frac {2y^{3}\sqrt{y}}{21}+\frac{y^2}{6}|_1^3= \frac{18\sqrt{3}}{7}+\frac{3}{2}-\frac{2}{21}-\frac{1}{3}=\frac{26}{21}+\frac{18\sqrt{3}}{7}$

$I=I_1+I_2=\frac{10+18\sqrt{3}}{7}$

Как мы убедились, результат не зависит от порядка интегрирования.

Для того чтобы посчитать двойной интеграл, необходимо:

1. Построить область интегрирования.
2. При необходимости разбить её на несколько областей.
3. Выбрать порядок интегрирования и перейти к повторному интегралу.
4. Найти пределы интегрирования и вычислить полученные интегралы.

Заказать статью по математике у экспертов биржи Студворк!

Тест по теме «Вычисление двойных интегралов»