Как найти координаты вектора

Задачи с векторами только на первый взгляд кажутся сложными, особенно если задача связана с трехмерным пространством. Но не стоит пугаться ведь если разобраться по-лучше в данной тематике задачи решаются в два счета. Так например в данной статье мы разберем тематику определения координат вектора, исходными данными для которого известны координаты начальной и конечной точки.

Основное правило, которое будет сопровождать в данной теме, гласит так:

Для того чтобы определить координаты некоторого вектора $\vec{MN}$, зная координаты начала и конца, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.

Задача 1

Рассмотрим первый вариант задачи. Вектор задан в двухмерном пространстве {x,y}. Тогда у каждой точки вектора существует две координаты, соответственно относящиеся к оси ОХ и ОУ. Формула для определения координаты вектора в таком случае принимает вид:

$\vec{MN}={M_x{-N}_x;M_y{-N}_y}.$

Рассмотрим на примере: На некоторой плоскости заданы точки M и N, координаты которых равны соответственно (1,2) и (3,5). Необходимо найти координаты вектора $\vec{MN}$

Решение

Возьмем некоторую плоскость $ОХУ$ и отметим точки $М$ и $N$. Затем соединим исходные точки и рассчитаем координаты полученного вектора. $\vec{MN}=\left\{3-1;5-2\right\}={2;3}.$

Вот так вот мы получили простое решение искомой задачи. Вариация таких задач может сочетать в себе нахождение не только координат вектора, но и отдельных координат исходных точек вектора.

Но у меня задача может быть не только одно- или двухмерное, но также трехмерное или как мы будем называть их n-мерное. Формула тогда в таком случае немного изменит вид, но смысл не меняется.

Задача 2

Сформулируем формулу для определения координат вектора расположенного в n-мерном пространстве.
Такое пространство подразумевает координаты точек в виде $M(M_1;M_2{;M}_3;..{;M}_n)$ и формула примет вид:

$\vec{MN}={M_x{-N}_x;M_y{-N}_y{;..;M}_n{-N}_n}.$

Рассмотрим задачу на примере 5-мерного пространства. Необходимо найти координаты точки N вектора

$\vec{MN}=\{3,8,4,1,7\}$, если известны координаты точки $M(1,9,6,7,4).$

Решение

Не стоит пугаться при виде слов 5-мерное пространство, т.к. рисовать данную систему координат не обязательно. Стоит лишь правильно понимать и применять формулу которую мы рассмотрели выше. Перепишем ее еще раз для нашего случая.

$\vec{MN}= \{M_1{-N}_1;M_2{-N}_2{;M_3{-N}_3{;M}_4{-N}_4;M}_5{-N}_5\}.$

Тогда рассмотрим систему:

$\begin{cases}1-N_1=3 \\ 9-N_2=8 \\ 6-N_3=4\\ 7-N_4=1\\ 4-N_5=7\end{cases}$

и решив данную систему, получим

$\begin{cases}N_1=-2\\ N_2=1\\ N_3=2\\ N_4=6\\ N_5=-3\\ \end{cases}$

Тогда получим ответ на задачу $N(-2,1,2,6,-3).$

На Студворк вы можете заказать статью по математике онлайн у профильных экспертов!