Касательная функции

Касательная прямая к кривой в точке

Прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Говоря общими словами, касательная прямая - это такая прямая, которая в данной конкретной точке наилучшим образом представляет кривую и ее направление в ней. Касательную прямую также можно определить, как предельное положение секущей прямой в данной точке.

Касательная к графику

Частным случаем касательной к кривой является касательная к графику (некоей функции). Например - касательная к синусоиде.

Прямая а может быть касательной к синусоиде в какой-то точке $Т$ и пересекать эту синусоиду в других точках:

Что же понимают под касательной к графику функции?

Пусть дано график функции $y = f(x)$ и на ней точку $Т$, которая не является концом графика (см. рис.):

Обозначим на данном графике по разные стороны от $Т$ произвольные точки $Т_1$ и $Т_2$. Прямые $ТТ_1$ и $ТТ_2$, вообще говоря, - секущие. Если же точки $Т_1$ и $Т_2$, двигаясь по графику, приближать достаточно близко к $Т$, то секущие $ТТ_1$ и $ТТ_2$ как угодно близко будут приближаться к некоторой прямой $а$.

Такую прямую $а$ (если она существует) называют касательной к графику функции $у = f(x)$ в точке $Т$.

Если график функции иной:

то при неограниченном приближении точек $Т_1$ и $Т_2$ к $Т$ предельные положения секущих $ТТ_1$ и $ТТ_2$ не будут совпадать. Говорят, что в точке $Т$ касательной к графику не существует. И если $Т$ - конечная точка графика, то касательной к нему в точке $Т$ не существует.

До сих пор речь шла о касательной криволинейных графиков. Но графиком функции может быть и прямая или часть прямой. Поэтому для всеобщности соображений договариваются, что касательной к прямой в любой ее точке считают эту самую прямую. Касательной к отрезку или лучу в любой его внутренней точке считают прямую, которой принадлежит этому отрезку или лучу. Понятие касательной к графику часто используют для исследования функций.

Особенности касательной к функции

Уравнение касательной прямой функции имеет вид $у = kx + b$, где $k$ - угловой коэффициент - тангенс угла между лучом касательной, расположенным выше оси $х$, и положительным направлением этой оси. Обратите внимание на угловой коэффициент $k$ касательной, проведенной к графику какой-либо функции в его точке с абсциссой $х$. Если число $х$ принадлежит промежутку возрастания функции, то соответствующее значение $k$ примет положительное значение:

Если $х$ принадлежит промежутку убывания функции, то соответствующее значение $k$ примет отрицательное значение.

И наоборот: если каждому значению х из некоторого промежутка $(а; b)$ соответствует положительное значение $k$, то на $(а; b)$ данная функция возрастает; если каждому значению $х$ из некоторого промежутка $(с; d)$ соответствует отрицательное значение $k$, то на $(с; d)$ функция убывает. Заслуживают внимания и те точки графика функции, в которых касательная не существует, и в которых она параллельна оси $х$, то есть когда ее угловой коэффициент равен $0$.

На Студворк вы можете заказать статью по математике онлайн у профильных экспертов!

Тест на тему “Касательная функции”