Иррациональные уравнения

Содержание

  1. 1. Алгебраические иррациональные уравнения
  2. 2. Примеры иррациональных уравнений
    1. 2.1. Пример 1
  3. 3. Тест по теме «Иррациональные уравнения»

Говоря об иррациональных выражениях и уравнениях не следует их путать с понятием об иррациональных числах.

Иррациональные числа

Все действительные числа, что не являются рациональными, т.е. не могут быть записаны как отношение целых чисел z/nz/n, nNn ∈ N, а лишь бесконечными непериодическими десятичными дробями.

Иррациональное уравнение

Уравнение, содержащее неизвестное в определенном дробном степени, т. е. неизвестное в нем представлено в виде иррационального выражения.

Иррациональные выражения

Выражения с дробными показателями степеней a1/2,a1/3,a1/4...a1/n{{a}^{1/2}},{{a}^{1/3}},{{a}^{1/4}}...{{a}^{1/n}}, где nn - натуральное число, можно записывать в другой форме: a,a3,a4...an\sqrt{a},\sqrt[3]{a},\sqrt[4]{a}...\sqrt[n]{a}.

При каждом положительном значении аа и натуральном nn записи a1/n{{a}^{1/n}} и an\sqrt[n]{a} обозначают одно и то же.

Выражение an\sqrt[n]{a} называют корнем nn-й степени из числа а. Здесь аа - подкоренное выражение, nn - показатель корня. В зависимости от показателей корни бывают второго, третьего и высших степеней. Показатель корня - всегда число натуральное; вместо a2\sqrt[2]{a} пишут a\sqrt{a}.

Если число nn нечетное, то выражение an\sqrt[n]{a} имеет смысл при любом действительном аа; знак выражения an\sqrt[n]{a} будет таким же, как и знак числа аа.

Если число nn четное, то корень an\sqrt[n]{a} (его называют еще арифметическим корнем nn-й степени) имеет смысл только когда а>0а > 0 Значение an\sqrt[n]{a} в этом случае также положительное по знаку.

Если натуральное число n четное, то выражения a1/n{{a}^{1/n}} и an\sqrt[n]{a} определены только для неотрицательных значений а и обозначаютют одно и то же. Если же натуральное число n нечетное, то выражение a1/n{{a}^{1/n}} определено только в области чисел большей или равной нулю, а an\sqrt[n]{a} - во множестве всех действительных чисел.

Наглядно это видно на графиках функций y=x1/3y={{x}^{1/3}} и y=x3y=\sqrt[3]{x}:

Иррациональные уравнения2.png

Для положительных подкоренных выражений и произвольных показателей корней сбываются свойства, подобные свойствам квадратных корней. Все эти свойства непосредственно вытекают из свойств степеней с дробными показателями.

Если подкоренное выражение - число отрицательное или степень отрицательного числа, то для него свойства корней могут не исполняться. Превращать корни с такими подкоренными выражениями желательно осторожно, рассматривая все возможные случаи.

Введем несколько названий для рассматриваемых выражений. Если выражению, кроме цифр, переменных, скобок и знаков действий сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с рациональным показателем или извлечение корня, не содержит ничего другого, его называют алгебраическим выражением. Алгебраическое выражение, содержащее корни или степени с дробными показателями, называется иррациональным выражением. Все другие алгебраические выражения – рациональные.

Выражения с числами или переменными, которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными.

Алгебраические иррациональные уравнения

Уравнение называется алгебраическим, если обе его части – алгебраические выражения.

Алгебраическое уравнение называется иррациональным, если оно содержит переменные под знаком корня или в основе степени с дробным показателем.

Примеры иррациональных уравнений

x5x1/2+4=0,x-5{{x}^{1/2}}+4=0,
x1=3x,\sqrt{x-1}=3-x,
97x4+x4=5.\sqrt[4]{97-x}+\sqrt[4]{x}=5.

Некоторые из таких уравнений можно решать способом замены. Так, заменив в первом уравнении х1/2х^{1/2} на уу, получим квадратное уравнение у25у+4=0у^2 - 5у + 4 = 0, корни которого у1=1,у2=4у_1 = 1, у_2 = 4.

Итак, х11/2=1х_1^{1/2} = 1 или х21/2=4х_2^{1/2} = 4, откуда х1=1х_1 = 1 и х2=16х_2 = 16.

Уравнения x1=3x\sqrt{x-1}=3-x можно представить в виде (x1)+x12=0(x-1)+\sqrt{x-1}-2=0, а затем, заменив x1\sqrt{x-1} на у, также свести его к квадратному. Нетрудно решить его и графическим способом:

Иррациональные уравнения.png

Большинство иррациональных уравнений решают возведением обеих их частей в степень с тем же натуральным показателем. При этом могут появиться посторонние решения, их отвергают в результате проверки.

Пример 1

Решите уравнение 3x2+x+11=2x+1\sqrt{3{{x}^{2}}+x+11}=2x+1

Решение

Возведем обе части уравнения в квадрат:

3x2+x+11=(2x+1)23{{x}^{2}}+x+11={{(2x+1)}^{2}}
3x2+x+11=4x2+4x+13{{x}^{2}}+x+11=4{{x}^{2}}+4x+1
x2+3x10=0{{x}^{2}}+3x-10=0

Корни образованного квадратного уравнения: 55 и 22.

Однако если х=5х = 5, то

352+5+11=25+1\sqrt{3\cdot {{5}^{2}}+5+11}=2\cdot 5+1
819\sqrt{81}\ne -9

Если x=2x = 2, то

Ответ: x=2x = 2.

Таким образом в ходе решения таких уравнения возможные посторонние решения, требуют их проверки.

Не получается самостоятельно разобраться с темой? Заказать написание статьи по математике!

Тест по теме «Иррациональные уравнения»

Комментарии

Нет комментариев

Предыдущая статья

Касательная функции

Следующая статья

Логарифм
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир