Иррациональные уравнения

Говоря об иррациональных выражениях и уравнениях не следует их путать с понятием об иррациональных числах.

Иррациональные числа

Все действительные числа, что не являются рациональными, т.е. не могут быть записаны как отношение целых чисел $z/n$, $n ∈ N$, а лишь бесконечными непериодическими десятичными дробями.

Иррациональное уравнение

Уравнение, содержащее неизвестное в определенном дробном степени, т. е. неизвестное в нем представлено в виде иррационального выражения.

Иррациональные выражения

Выражения с дробными показателями степеней ${{a}^{1/2}},{{a}^{1/3}},{{a}^{1/4}}...{{a}^{1/n}}$, где $n$ - натуральное число, можно записывать в другой форме: $\sqrt{a},\sqrt[3]{a},\sqrt[4]{a}...\sqrt[n]{a}$.

При каждом положительном значении $а$ и натуральном $n$ записи ${{a}^{1/n}}$ и $\sqrt[n]{a}$ обозначают одно и то же.

Выражение $\sqrt[n]{a}$ называют корнем $n$-й степени из числа а. Здесь $а$ - подкоренное выражение, $n$ - показатель корня. В зависимости от показателей корни бывают второго, третьего и высших степеней. Показатель корня - всегда число натуральное; вместо $\sqrt[2]{a}$ пишут $\sqrt{a}$.

Если число $n$ нечетное, то выражение $\sqrt[n]{a}$ имеет смысл при любом действительном $а$; знак выражения $\sqrt[n]{a}$ будет таким же, как и знак числа $а$.

Если число $n$ четное, то корень $\sqrt[n]{a}$ (его называют еще арифметическим корнем $n$-й степени) имеет смысл только когда $а > 0$ Значение $\sqrt[n]{a}$ в этом случае также положительное по знаку.

Если натуральное число n четное, то выражения ${{a}^{1/n}}$ и $\sqrt[n]{a}$ определены только для неотрицательных значений а и обозначаютют одно и то же. Если же натуральное число n нечетное, то выражение ${{a}^{1/n}}$ определено только в области чисел большей или равной нулю, а $\sqrt[n]{a}$ - во множестве всех действительных чисел.

Наглядно это видно на графиках функций $y={{x}^{1/3}}$ и $y=\sqrt[3]{x}$:

Для положительных подкоренных выражений и произвольных показателей корней сбываются свойства, подобные свойствам квадратных корней. Все эти свойства непосредственно вытекают из свойств степеней с дробными показателями.

Если подкоренное выражение - число отрицательное или степень отрицательного числа, то для него свойства корней могут не исполняться. Превращать корни с такими подкоренными выражениями желательно осторожно, рассматривая все возможные случаи.

Введем несколько названий для рассматриваемых выражений. Если выражению, кроме цифр, переменных, скобок и знаков действий сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с рациональным показателем или извлечение корня, не содержит ничего другого, его называют алгебраическим выражением. Алгебраическое выражение, содержащее корни или степени с дробными показателями, называется иррациональным выражением. Все другие алгебраические выражения – рациональные.

Выражения с числами или переменными, которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными.

Алгебраические иррациональные уравнения

Уравнение называется алгебраическим, если обе его части – алгебраические выражения.

Алгебраическое уравнение называется иррациональным, если оно содержит переменные под знаком корня или в основе степени с дробным показателем.

Примеры иррациональных уравнений

$x-5{{x}^{1/2}}+4=0,$
$\sqrt{x-1}=3-x,$
$\sqrt[4]{97-x}+\sqrt[4]{x}=5.$

Некоторые из таких уравнений можно решать способом замены. Так, заменив в первом уравнении $х^{1/2}$ на $у$, получим квадратное уравнение $у^2 - 5у + 4 = 0$, корни которого $у_1 = 1, у_2 = 4$.

Итак, $х_1^{1/2} = 1$ или $х_2^{1/2} = 4$, откуда $х_1 = 1$ и $х_2 = 16$.

Уравнения $\sqrt{x-1}=3-x$ можно представить в виде $(x-1)+\sqrt{x-1}-2=0$, а затем, заменив $\sqrt{x-1}$ на у, также свести его к квадратному. Нетрудно решить его и графическим способом:

Большинство иррациональных уравнений решают возведением обеих их частей в степень с тем же натуральным показателем. При этом могут появиться посторонние решения, их отвергают в результате проверки.

Пример 1

Решите уравнение $\sqrt{3{{x}^{2}}+x+11}=2x+1$

Решение

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$3{{x}^{2}}+x+11={{(2x+1)}^{2}}$
$3{{x}^{2}}+x+11=4{{x}^{2}}+4x+1$
${{x}^{2}}+3x-10=0$

Корни образованного квадратного уравнения: $5$ и $2$.

Однако если $х = 5$, то

$\sqrt{3\cdot {{5}^{2}}+5+11}=2\cdot 5+1$
$\sqrt{81}\ne -9$

Если $x = 2$, то

Ответ: $x = 2$.

Таким образом в ходе решения таких уравнения возможные посторонние решения, требуют их проверки.

Не получается самостоятельно разобраться с темой? Заказать написание статьи по математике!

Тест по теме «Иррациональные уравнения»