Построение графика функции

В научных исследованиях при решении практических задач всегда рассматривают изменения одних величин в зависимости от изменений других. Например, в электрической цепи величина тока меняется в зависимости от величины сопротивления, объем шара меняется в зависимости от его радиуса и т.д.

Взаимосвязь изменяемых величин в математике описывают с помощью функций.

Формальное определение выглядит следующим образом.

Функция

Пусть существует некоторый закон $f$, по которому каждому числовому значению переменной $x$ ставится в соответствие единственное определенное числовое значение другой переменной $y$. Такой закон называется функцией от $x$ и символически записывается в виде $y = f(x)$.

При этом переменную $x$ называют независимой переменной или аргументом, переменную $y$ – зависимой переменной или функцией. Буква $f$ в записи $y = f(x)$ обозначает правило или совокупность действий, которые нужно произвести над значением аргумента $x$, чтобы получить значение функции $y$.

Согласно определению функции, каждому числовому значению переменной $x$ должно ставиться в соответствие единственное числовое значение другой переменной $y$. Чтобы подчеркнуть эту особенность, такую функцию называют однозначной. Но существуют также функции, в которых одному значению аргумента соответствуют два и более значений функции. Такие функции называются многозначными.

Способы задания функции

Существуют аналитический, табличный и графический способы задания функции.
Аналитический способ представляет собой задание функции с помощью формулы. Это самый удобный способ, так как формулу можно исследовать по полной программе. К сожалению, далеко не всегда изменения одних величин в зависимости от изменений других могут быть описаны в виде формулы.

При табличном способе задания в определенном порядке выписываются значения аргумента $x_1$, $x_2$, …, $x_n$ и соответствующие значения функции $y_1$, $y_2$, …, $y_n$. В таком виде часто получают функции во время измерительных экспериментов. Кроме того, таблицы значений разнообразных специальных функций мы можем видеть в справочниках.

Кроме аналитического и табличного способов задания функции, существует еще и графический, который позволяет «увидеть» функцию.

График функции

Графиком функции $y = f(x)$ называется множество всех точек плоскости, для которых значения аргумента принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям из области значений функции. Другими словами, график функции $y = f(x)$ – это множество всех точек плоскости, координаты $x$, у которых удовлетворяют соотношению $y = f(x)$.

Графики позволяют выполнять предварительный визуальный анализ функций, дают возможность видеть характерные особенности их поведения. При этом можно обнаружить такие характерные свойства функций, как монотонность, ограниченность, четность или нечетность, а также периодичность.

Системы координат для построения графиков функций

Для построения графиков функций на плоскости используют декартову прямоугольную систему координат и полярную систему координат.

Прямоугольная система координат позволяет отображать функционально зависимые пары чисел $x$ и $y$. Эта система координат образована двумя взаимно перпендикулярными осями, которые называются осями координат.

Точка пересечения осей координат называется началом координат и обозначается буквой $O$. Горизонтальная ось направлена слева направо, называется осью абсцисс и обозначается $O_x$. Вертикальная ось направлена снизу вверх, называется осью ординат и обозначается $O_y$. С целью указания числовых значений координат на обоих осях выбирають масштабную единицу (одинаковую или разную).

При указанных условиях расположение любой точки $M(x, y)$ на плоскости полностью определяется её координатами. Первая координата $x$ (абсцисса) точки $M$ указывает положение точки $M_1$ на оси $O_x$. Вторая координата y (ордината) точки $M$ указывает положение точки $M_2$ на оси $O_y$.

Оси координат делят плоскость на четыре части, которые называются четвертями или квадрантами. Квадранты нумеруют римскими цифрами против часовой стрелки. Знаки координат в каждом из квадрантов следующие:

– I квадрант – $x > 0$, $y > 0$;
– II квадрант – $x < 0$, $y > 0$;
– III квадрант – $x < 0$, $y < 0$;
– IV квадрант – $x > 0$, $y < 0$.

Точки на оси $O_y$ имеют координату $x = 0$, точки на оси $O_x$ имеют координату $y = 0$.

Начало координат имеет нулевые значения обеих координат.

На плоскости, кроме декартовой прямоугольной системы координат, используют также полярную систему координат. Это связано с тем, что сложность аналитических представлений многих кривых зависит от системы координат. Поэтому при удачном выборе системы координат можно существенно упростить решение той или иной задачи. Например, уравнение окружности радиуса $R$ с центром в начале координат в прямоугольной системе координат имеет вид: $x^2 + y^2 = R^2$. Уравнение той же окружности в полярной системе координат: $ρ = R$.

Способы построения графиков функций

Известны следующие основные способы построения графиков функций:

1. построение графика функции по точкам;
2. построение графика функции посредством сложения графиков элементарных функций;
3. построение графика сложной функции посредством преобразования графика элементарной функции
4. построение графика функции на основе результатов её исследования.

Графическое изображение функции непосредственно чаще всего можно получить в тех или иных физических экспериментах, например, на экране осциллографа. В большинстве других случаев для построения графика функции необходимо иметь либо аналитическое, либо табличное её представление.

Нужна работа по низкой цене? У нас вы можете заказать статью по математике недорого!

Тест по теме «Построение графика функции»