Построение графика функции на основе результатов её исследования

Общее исследование поведения функции и построение её графика целесообразно проводить в следующем порядке:

1. Найти область определения функции, найти области её непрерывности и точки разрыва.

2. Найти асимптоты функции, а также точки пересечения её графика с осями координат.

3. Найти области знакопостоянства функции.

4. Проверить, не является ли функция четной или нечетной, а также, не является ли она
   периодической.

5. Найти первую производную функции, найти её критические точки, определить промежутки монотонности функции, а также точки её экстремумов.

6. Найти вторую производную функции и определить точки перегиба, определить промежутки выпуклости и вогнутости функции.

7. Построить график функции.

Пример исследования функции и построения ее графика

Функция $y = 0,5 \cdot x^4 - x^2 + 1$

1. Область определения функции – вся числовая ось $x ∈ (-∞; ∞)$

2. Так как $y (-x) = 0,5 \cdot (-x)^4 - (-x)^2 + 1 = y(x)$ , то функция является четной (симметричной относительно вертикальной оси).

3. Функция не имеет точек разрыва.

4. Находим асимптоты.

4а) Вертикальные асимптоты отсутствуют.

4б) Наклонные $(y = k \cdot x + b)$ и горизонтальные $(y = b)$ асимптоты.

Вычисляем: $k = \underset{x→±∞} {lim} \frac{f(x)}{x} =\underset{x→±∞} {lim} \frac{0,5 \cdot x^4 - x^2 +1}{x} = ∞$
Наклонные асимптоты отсутствуют.

1. Точки пересечения графика функции с осями координат.

5а) С осью $O_y$: $x = 0$, $y = 0,5 \cdot 0^4 - 0^2 +1 = 1$, точка $(0; 1)$.

5б) С осью $O_x$: $y = 0$; $y = 0,5 \cdot x^4 - x^2 +1 = 1$, откуда $0,5 \cdot z^2 - z +1 = 0$ при $z = x^2$ ; дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 0,5 \cdot 1 < 0$; это квадратное уравнение не имеет действительных корней, поэтому точки пересечения с осью $O_x$ отсутствуют.

1. Для исследования функции на возрастание, убывание и экстремум находим ее первую производную: $y'= (0,5\cdot x^4 - x^2 + 1)' = 2 \cdot x^3 -2 \cdot x$ .
   Из $y' = 0$ получаем $2 \cdot x^3 - 2 \cdot x = 0$ , откуда $x \cdot (x^2 - 1) = 0$; критические точки $x_{1} = -1$, $x_{2} = 0$, $x^{3} = 1$ .
   Интервалы монотонности:

а) $( -∞; -1)$; $y' < 0$ – функция убывает;

б) $(-1; 0)$; $y' > 0$ – функция возрастает;

в) $(0; 1)$; $y' < 0$ – функция убывает;

г) $(1; ∞)$; $y' > 0$ – функция возрастает.

Все критические точки входят в область определения функции, при переходе через них производная меняет знак. Следовательно, это точки локальных экстремумов:

а) точка $x_{1} = -1$ – локальный минимум (производная меняет знак с минуса на плюс); $y_1 = 0,5$;

б) точка $x_{2} = 0$ – локальный максимум (производная меняет знак с плюса на минус); $y_{2} = 1$;

в) точка $x_{2} = 0$ – локальный минимум (производная меняет знак с минуса на плюс); $y_3 = 0,5$.

1. Для исследования функции на выпуклость, вогнутость и определения точек перегиба находим ее вторую производную: $y" = (2 \cdot x^{3} - 2 \cdot x)' = 6 \cdot x^{2} - 2$.

Из $y" = 0$ получаем $6 \cdot x^{2} - 2 = 0$, откуда $x^2 = \frac{1}{3}$; критические точки $x_1 = -\frac{1}{\sqrt3}$, $x_2 = \frac{1}{\sqrt3}$.

Интервалы выпуклости-вогнутости:

а) $( -∞; -\frac{1}{\sqrt3}$); $y" > 0$; график функции является выпуклым вниз (вогнутым);

б) $(-\frac{1}{\sqrt3}; \frac{1}{\sqrt3}$); $y" > 0$; график функции является выпуклым вверх;

в) ($\frac{1}{\sqrt3}; ∞)$ ; $y" > 0$; график функции является выпуклым вниз (вогнутым).

При переходе через критические точки вторая производная меняет знак, следовательно, эти точки являются точками перегиба.

1. Учитывая полученные данные, строим график функции:

Нужна работа по низкой цене? У нас вы можете заказать статью по математике недорого!