Материалы по запросу: найти глобальные экстремумы
🌞Теория оптимального управления / Темы 1-4 + Итоговый тест + Компетентностный тест / Самый полный сборник из правильных ответов на отлично! 100/100
по ресурсам. Определить переменные решения, записать ограничения в виде уравнений и неравенств и найти оптимальное решение методами линейного или нелинейного программирования. Применить качественный сравнительный
💯 Математика и информатика [Тема 1-5] — ответы на тесты Синергия / МОИ / МТИ / МосАП
ответ Матрица, удовлетворяющая условию A=AT называется ……….. матрицей.Тип ответа: Текcтовый ответ Найти производную функции y=sinx - ln3x.Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа
ВАРИАНТ 5. Методы оптимальных решений
удовлетворяет ее системе ограничений. Модель имеет множество допустимых планов и среди них нужно найти такое, которое удовлетворяет системе ограничений и при котором целевая функция принимает оптимальное
Исследование операций и методы оптимизации тест "Синергия"(все ответы 92/100 баллов). Отлично
математической модели В результате решения задач квадратичного программирования требуется в общем случае найти максимум (или минимум) квадратичной функции при условии, что ее переменные удовлетворяют некоторой
Рассмотрите задачу оптимизации: найти экстремумы функции f(x,y)=xy при ограничении x^2 + y^2 = 1 методом Лагранжа…
Рассмотрите задачу оптимизации: найти экстремумы функции f(x,y)=xy при ограничении x^2 + y^2 = 1 методом Лагранжа и альтернативными методами; обсудите локальные и глобальные экстремумы
Ответ на вопрос
Лагранжев метод.
Поставим \(\mathcal L(x,y,\lambda)=xy+\lambda(1-x^2-y^2)\). Уравнения критич. точек:
\[
\frac{\partial\mathcal L}{\partial x}=y-2\lambda x=0,\qquad
\frac{\partial\mathcal L}{\partial y}=x-2\lambda y=0,\qquad
x^2+y^2=1.
\]
Из первых двух: умножив первую на \(x\) и вторую на \(y\) и вычитая, получаем \(2\lambda(x^2-y^2)=0\). Поскольку \(\lambda=0\) даёт \(x=y=0\) (неудовлетворяет ограничению), следует \(x^2=y^2\), т.е. \(y=\pm x\).
- Если \(y=x\), то \(2x^2=1\Rightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt2}\), \(y=\pm\frac{1}{\sqrt2}\). Тогда \(f(x,y)=\frac12\). (Соответствующее \(\lambda=-\tfrac12\).)
- Если \(y=-x\), то \(2x^2=1\Rightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt2}\), \(y=\mp\frac{1}{\sqrt2}\). Тогда \(f(x,y)=-\frac12\). (Соответствующее \(\lambda=\tfrac12\).)
Альтернативные методы.
1) Параметризация: положим \(x=\cos t,\;y=\sin t\). Тогда
\[
f(t)=\cos t\sin t=\tfrac12\sin(2t),
\]
максимум \(\tfrac12\) при \(2t=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k\) (\(t=\tfrac{\pi}{4}+\pi k\)), минимум \(-\tfrac12\) при \(2t=\tfrac{3\pi}{2}+2\pi k\).
2) Неравенство (Cauchy/AM-GM):
\[
2|xy|\le x^2+y^2=1\quad\Rightarrow\quad |xy|\le\tfrac12,
\]
равенство при \(|x|=|y|\), отсюда те же точки экстремума.
Выводы (локальные и глобальные экстремумы).
- Глобальные максимумы: \(f_{\max}=\tfrac12\) в точках \(\left(\tfrac{1}{\sqrt2},\tfrac{1}{\sqrt2}\right)\) и \(\left(-\tfrac{1}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2}\right)\).
- Глобальные минимумы: \(f_{\min}=-\tfrac12\) в точках \(\left(-\tfrac{1}{\sqrt2},\tfrac{1}{\sqrt2}\right)\) и \(\left(\tfrac{1}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2}\right)\).
- На множестве ограничения (окружности) эти точки являются локальными (и глобальными) экстремумами; других критических точек нет. (Вне ограничения функция \(xy\) не имеет максимумов/минимумов на всей \(\mathbb R^2\).)
Еще 6
1
Исследование операций и методы оптимизации (тест с ответами Синергия/МОИ/ МТИ)
Sk) определяется путем решения задачи одномерной оптимизации: 20. Используя пространство решений: Найти оптимальное решение для следующей функции: 21. Данная задача записана в : 22. Дана задача: Металлургическому
Рассмотрите задачу на оптимизацию: найти минимум функции f(x,y) = x^4 + y^4 - 2x^2y^2 + 1; обсудите использование…
Рассмотрите задачу на оптимизацию: найти минимум функции f(x,y) = x^4 + y^4 - 2x^2y^2 + 1; обсудите использование обычных условий на экстремум, метод Лагранжа и анализ глобальной структуры функций с симметриями
Ответ на вопрос
Коротко и по существу.
1) Быстрое упрощение и глобальная картина.
\(f(x,y)=x^4+y^4-2x^2y^2+1=(x^2-y^2)^2+1\). Отсюда \(f(x,y)\ge1\) и минимум равен \(1\), достигается при \(x^2-y^2=0\), т.е. на двух прямых \(y=\pm x\) (включая точку \((0,0)\)). Минимумы не изолированы.
2) Обычные условия экстремума (необходимое условие).
Градиент:
\[
\partial_x f=4x(x^2-y^2),\qquad \partial_y f=4y(y^2-x^2).
\]
Решения \(\nabla f=0\) даются либо \(x^2=y^2\) (включая всю пару прямых \(y=\pm x\)), либо тривиально \(x=y=0\) (входит в предыдущее). То есть критическая множина = \(\{(x,y):x^2=y^2\}\).
3) Вторая производная (Гессиан) и классификация.
Матрица Гессиана:
\[
f_{xx}=12x^2-4y^2,\quad f_{yy}=12y^2-4x^2,\quad f_{xy}=-8xy.
\]
На линии \(y=x\) (аналогично на \(y=-x\)) она равна \(8x^2\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\) с собственными значениями \(0\) и \(16x^2\). То есть Гессиан вырожден (нулевое собственное значение) для любых точек на минимизирующих прямых; стандартный второй критерий даёт лишь, что есть неотрицательное направление и нейтральное (плоское) направление — тест неклассифицирующий (не показывает изолированного минимума). При \(x=y=0\) Гессиан нулевой — полностью вырождён, нужен учёт старших порядков. Однако глобальное разложение \(f=(x^2-y^2)^2+1\) однозначно показывает минимум.
4) Метод Лагранжа (когда уместен).
Для неконстранированной задачи Лагранж не нужен. Для задач с ограничением можно применять: например, на окружности \(x^2+y^2=r^2\) условие Лагранжа \(\nabla f=\lambda\nabla(x^2+y^2)\) приводит к тем же углам \(\pm 45^\circ\), т.е. к точкам с \(x^2=y^2\). Если рассмотреть ограничение \(g(x,y)=x^2-y^2=0\), то любые точки на этом наборе автоматически стационарны для ограничения (градиент \(f\) пропорционален \(\nabla g\) или равен нулю), что согласуется с тем, что это множество насыщено минимумами.
5) Роль симметрий.
\(f\) зависит только от \((x^2-y^2)^2\), поэтому инвариантна при \(x\mapsto\pm x\), \(y\mapsto\pm y\), при перестановке координат и повороте на \(90^\circ\) (группа симметрий типа \(D_4\)). Эти симметрии объясняют появление двух пересекающихся линий минимумов и неизолированность решений.
Вывод: минимум \(f_{\min}=1\) достигается на множестве \(\{(x,y):x^2=y^2\}\). Обычные первые/вторые критерии дают критическую множество и указывают на вырождённость (нулевые собственные значения), но окончательное заключение о минимумe удобно и просто получить через факторизацию \(f=(x^2-y^2)^2+1\) и учёт симметрий.
Еще 5
1
Методы оптимизации и оптимальных решений. Решение 3-х заданий: нахождение глобальных экстремумов функции (графический метод), использование метода Лагранжа, задача о распределении инвестиций
Методы оптимизации и оптимальных решений. Решение 3-х заданий: нахождение глобальных экстремумов функции (графический метод), использование метода Лагранжа, задача о распределении инвестиций
Найти локальный и глобальный экстремум функции f(x)=|x−1|·|x+2|,x∈[−3,3].
Найти локальный и глобальный экстремум функции f(x)=|x−1|·|x+2|,x∈[−3,3].
Ответ на вопрос
Для того чтобы найти локальные и глобальные экстремумы функции f(x)=|x−1|·|x+2| на интервале [-3,3], нужно первым делом найти производные функции и решить уравнения f'(x)=0 для поиска локальных экстремумов.Сначала найдем производную функции f(x):
f(x)=|x−1|·|x+2|
f'(x) = sign(x-1) sign(x+2) + sign(x+2) sign(x-1)
= (1 + sign(x-1) - sign(x+2) - 1) sign(x-1) sign(x+2)
= 0Теперь рассмотрим интервалы между нулями производной на отрезке [-3,3]: (-3, -2), (-2, 1), (1, 3).Для интервала (-3, -2):
f'(-3) = 1
f'(-2) = -1
Так как f'(-3) > 0, а f'(-2) < 0, то на этом интервале есть локальный максимум.Для интервала (-2, 1):
f'(-2) = -1
f'(1) = 1
Так как f(-2) < 0, а f(1) > 0, то на этом интервале есть локальный минимум.Для интервала (1, 3):
f'(1) = 1
f'(3) = 1
Так как f(1) > 0, а f(3) > 0, то на этом интервале нет локальных экстремумов.Теперь найдем значения функции f(x) в найденных точках и на концах отрезка [-3,3] для поиска глобальных экстремумов:f(-3) = 4
f(-2) = 0
f(1) = 3
f(3) = 10Таким образом, локальный максимум равен 4 и достигается в точке x=-3, локальный минимум равен 0 и достигается в точке x=-2, а глобальный максимум равен 10 и достигается в точке x=3.
Еще 171
1
Методы оптимизации (контрольная, 5 заданий)
Решить транспортную задачу: Задание 3 Используя графический метод, найти глобальные экстремумы функции: Задание 4 Найти оптимальные смешанные стратегии для игроков и цену игры. Для решения использовать
Задача нелинейного программирования (решение в Word с помощью функции Лагранжа + решение в Excel)
ограничений-равенств) выполнить следующие действия: 1) Найти все условные экстремумы функций методом множителей Лагранжа и выбрать среди них глобальный минимум (максимум); 2) Проверить результаты решения
Задача нелинейного программирования (решение в Word с помощью функции Лагранжа + решение в Excel)
ограничений-равенств) выполнить следующие действия: 1) Найти все условные экстремумы функций методом множителей Лагранжа и выбрать среди них глобальный минимум (максимум); 2) Проверить результаты решения
[ХГАЭП] Методы оптимальных решений (контрольная, вариант 10)
Задание 2 Найти два опорных решения системы: {x_1+2x_2 =1 -x_2+x_4+x_5=4 -3x_2+x_3+x_4=2 Задание 3 Решить исходную задачу симплексным методом, составить к ней модель двойственной задачи, найти оптимальный
Методы оптимальных решений (контрольная работа, 7 заданий)
системы ограничений. Задание 2 Найти два опорных решения системы уравнений. Задание 3 Составить к исходной задаче двойственную. Решить исходную задачу симплексным методом, найти оптимальное решение двойственной
Методы оптимизации (контрольная работа, 7 заданий)
ограничений. Задание 2 Найти два опорных решения системы уравнений. Задание 3 Составить к исходной задаче двойственную. Решить исходную задачу симплексным методом, найти оптимальное решение двойственной
ХГАЭиП Методы оптимальных решений Вариант 8 (7 заданий)
имеет … Задание 2 Найти два опорных решения системы: x1+3x2-x3+2x5=7 -2x2+4x3+x4=2 -4x2+3x3+8x5+x6=10 Задание 3 Решить исходную задачу симплексным методом, составить к ней двойственную, найти оптимальное решение
Математический анализ (ТюмГУ (ИДО), 1 семестр, 1 вариант)
Вычислить предел 2. Найти асимптоты функции 3. Определить глобальные экстремумы 4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции 5. Найти промежутки выпуклости
Математический анализ (ТюмГУ (ИДО), 1 семестр, 3 вариант)
Вычислить предел 2. Найти асимптоты функции 3. Определить глобальные экстремумы 4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции 5. Найти промежутки выпуклости
Математический анализ (ТюмГУ (ИДО), 1 семестр, 4 вариант)
Вычислить предел 2. Найти асимптоты функции 3. Определить глобальные экстремумы 4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции 5. Найти промежутки выпуклости
Математический анализ (ТюмГУ (ИДО), 1 семестр, 2 вариант)
Вычислить предел 2. Найти асимптоты функции 3. Определить глобальные экстремумы 4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции . 5. Найти промежутки выпуклости
Что часто ищут
- классификация материалов
- создание сайтов
- 1000 курсовая
- 1000 руб
- автоматизация бухгалтерского и налогового учета 1с бухгалтерия 8
- менеджмент качества окружающей среды
- государственная система обязательного медицинского страхования
- обморожение
- литературы в курсовой
- лабораторный практикум по бухгалтерскому учету тест
Поможем написать учебную работу