Математика – это игра? Программа Давида Гильберта

Давид Гильберт (1862-1943гг) - немецкий математик-универсал, внесший значительный вклад в развитие многих областей математики, и надеявшийся обнаружить первоначальную теорию этой математики с помощью логики, лежащей в основе структуры арифметики.

А теперь давайте подробнее и понятнее рассмотрим далее...

Давид Гильберт

Почему он решил это сделать?

Ответьте мне, пожалуйста, на несколько довольно "простых" математических вопросов:

• Откуда появились числа?
• Каковы законы существования чисел?
• Почему некоторые числовые задачи настолько трудны?

Я думаю, ответы получились неоднозначные. А вот именно этими вопросами задавались математики в начале XX века, назвав это "кризисом основ". Некоторые так и искали решения для задач, сложность которых постоянно возрастала, но некоторых волновали именно эти фундаментальные вопросы.

Давид Гильберт предложил очень простую идею относительно математических вопросов.

Математика, как игра

Он считал, что надо разобрать математику до ее основных элементов и рассматривать ее как игру. Так же, как и в шахматах есть фигуры, так и в математике есть символы, такие как: 0, 1, +, x, = и др. Гильберт упростил математику до игры с символами, не задумываясь о значении этих символов, и пытался определить правила этой игры. Это можно сделать в принципе, как он считал, но показав, что:

1. Вся математика вытекает из правильно выбранной конечной системы аксиом;
2. Некоторая такая система аксиом доказуемо непротиворечива с помощью некоторых средств, таких как эпсилон-исчисление. *(что-то на заумном)*

Эта программа до сих пор используется в самой распространенной области философии математики, которую обычно называют "формализмом".

Гильберт также писал в 1919 году:

«Мы ни в коем случае не говорим здесь о произволе. Математика не похожа на игру, задачи которой определяются произвольно установленными правилами. Скорее, это концептуальная система, обладающая внутренней необходимостью, которая может быть только такой и ни в коем случае не иной.»

Он предложил это потому, что у него были как технические, так и философские причины. Это только усилило его неудовольствие к оному времени в немецкой мысли распространенной проблеме, которую называли "ignorabimus" (латинское изречение, переводящееся что-то вроде "невежда и невеждабимус", означающее "мы не знаем и не будем знать", отражающее идею о том, что научные знания ограничены).

Свои взгляды на основы математики, он опубликовал в двухтомном труде "Grundlagen der Mathematik".

Можно было бы определить, верно или ложно какое-либо утверждение относительно чисел, если бы он всё-таки смог это сделать.

И что случилось по итогу?

Скорее всего, вы уже поняли, но к несчастью, программа Гильберта так и не воплощена в реальность. А законченное множество правил никогда не может быть определено, что показала теорема о неполноте Курта Гёделя.

Несмотря на не оправданные ожидания, работа Гильберта оказала сильное влияние на математику. Его "формалистский" подход к обращению с числами словно с игрой, вызвал не малый и новый интерес к математической логике.

Один алгоритм или программа не способны на решение всех математических задач, но хотя бы некоторые подтипы задач и вопросов могут быть отвечены таким вот образом.

«Как и шахматы, математика является всего лишь игрой. Но каковы же правила этой игры?»