Замечательные пределы

Первый замечательный предел

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.$

(см. Пример 2 статьи Предел функции в точке. Свойства пределов)

Следствие 1

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{arcsin} x}{x}=1.$

Замена переменной $x=\sin t$. Действительно, согласно свойству 6 предела функции в точке, имеем

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{arcsin} x}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\operatorname{arcsin} \sin t}{\sin t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{ t}{\sin t}=1.$

Следствие 2

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg} x}{x}=1.$

Согласно тому, что $\lim\limits_{x\to 0}\cos x=1$ и свойству 5 предела функции в точке, получим

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg} x}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x\cos x}=\frac{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}}{\lim\limits_{x\to 0}\cos x}=1.$

Следствие 3

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{arctg} x}{x}=1$

Замена переменной $x=\operatorname{tg} t$. Согласно свойству 6 предела функции в точке, имеем

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{arctg} x}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\operatorname{arctg} \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{ t}{\operatorname{tg} t}=1.$

Следствие 4

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$

Используя свойства 6 и 8 предела функции в точке, получим

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}=\frac{1}{2}\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2=\frac{1}{2}\left(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2=\frac{1}{2}$

Второй замечательный предел

$\lim\limits_{t\to +\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t=\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e.$

Следствие 5

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.$

Используя свойство 6 предела функции в точке, получим

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}= \lim\limits_{x\to 0}\ln(1+x)^{1/x}=\ln \left(\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{1/x}\right)=\ln e=1$

Следствие 6

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$

Замена переменной $x=\ln(1+t)$. Используя свойство 6 предела функции в точке и очевидное равенство $\lim\limits_{t\to 0}\ln(1+t)=0$, получим

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^{\ln(1+t)}-1}{\ln(1+t)}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{t}{\ln(1+t)}=1.$

Следствие 7

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^a-1}{x}=a.$

Замена переменной $x=e^t-1$. Используя свойствa 6 и 8 предела функции в точке и очевидное равенство $\lim\limits_{t\to 0}\left(e^t-1\right)=0$, получим

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^a-1}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^{at}-1}{e^t-1}=a\left(\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^{at}-1}{at}\right)\left(\lim\limits_{t\to 0}\frac{t}{e^t-1}\right)=a.$

Следствие 8

Если $a>0$, то

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a.$

Замена переменной $x=t\log_a e$. Используя свойство 6 предела функции в точке

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t\log_ae}=\frac{1}{\log_ae}\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=\ln a.$