Замечательные пределы

Содержание

Первый замечательный предел

limx0sinxx=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.

(см. Пример 2 статьи Предел функции в точке. Свойства пределов)

Следствие 1

limx0arcsinxx=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{arcsin} x}{x}=1.

Замена переменной x=sintx=\sin t. Действительно, согласно свойству 6 предела функции в точке, имеем

limx0arcsinxx=limt0arcsinsintsint=limt0tsint=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{arcsin} x}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\operatorname{arcsin} \sin t}{\sin t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{ t}{\sin t}=1.

Следствие 2

limx0tgxx=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg} x}{x}=1.

Согласно тому, что limx0cosx=1\lim\limits_{x\to 0}\cos x=1 и свойству 5 предела функции в точке, получим

limx0tgxx=limx0sinxxcosx=limx0sinxxlimx0cosx=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg} x}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x\cos x}=\frac{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}}{\lim\limits_{x\to 0}\cos x}=1.

Следствие 3

limx0arctgxx=1\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{arctg} x}{x}=1

Замена переменной x=tgtx=\operatorname{tg} t. Согласно свойству 6 предела функции в точке, имеем

limx0arctgxx=limt0arctgtgttgt=limt0ttgt=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{arctg} x}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\operatorname{arctg} \operatorname{tg} t}{\operatorname{tg} t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{ t}{\operatorname{tg} t}=1.

Следствие 4

limx01cosxx2=12\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}

Используя свойства 6 и 8 предела функции в точке, получим

limx01cosxx2=limx02sin2x2x2=12limx0(sinx2x2)2=12(limx0sinx2x2)2=12\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}=\frac{1}{2}\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2=\frac{1}{2}\left(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2=\frac{1}{2}

Второй замечательный предел

limt+(1+1t)t=limx0(1+x)1/x=e.\lim\limits_{t\to +\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t=\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e.

Следствие 5

limx0ln(1+x)x=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.

Используя свойство 6 предела функции в точке, получим

limx0ln(1+x)x=limx0ln(1+x)1/x=ln(limx0(1+x)1/x)=lne=1\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}= \lim\limits_{x\to 0}\ln(1+x)^{1/x}=\ln \left(\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{1/x}\right)=\ln e=1

Следствие 6

limx0ex1x=1\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1

Замена переменной x=ln(1+t)x=\ln(1+t). Используя свойство 6 предела функции в точке и очевидное равенство limt0ln(1+t)=0\lim\limits_{t\to 0}\ln(1+t)=0, получим

limx0ex1x=limt0eln(1+t)1ln(1+t)=limt0tln(1+t)=1.\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^{\ln(1+t)}-1}{\ln(1+t)}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{t}{\ln(1+t)}=1.

Следствие 7

limx0(1+x)a1x=a.\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^a-1}{x}=a.

Замена переменной x=et1x=e^t-1. Используя свойствa 6 и 8 предела функции в точке и очевидное равенство limt0(et1)=0\lim\limits_{t\to 0}\left(e^t-1\right)=0, получим

limx0(1+x)a1x=limt0eat1et1=a(limt0eat1at)(limt0tet1)=a.\lim\limits_{x\to 0}\frac{(1+x)^a-1}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^{at}-1}{e^t-1}=a\left(\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^{at}-1}{at}\right)\left(\lim\limits_{t\to 0}\frac{t}{e^t-1}\right)=a.

Следствие 8

Если a>0a>0, то

limx0ax1x=lna.\lim\limits_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a.

Замена переменной x=tlogaex=t\log_a e. Используя свойство 6 предела функции в точке

limx0ax1x=limt0et1tlogae=1logaelimt0et1t=lna.\lim\limits_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t\log_ae}=\frac{1}{\log_ae}\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=\ln a.

Автор статьи
3 Авг 2018 в 12:05
8 245 +2
0
Комментарии
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Бесплатные доработки
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи за сегодня
Следующая статья
Сравнение функций
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 69 929 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Прямой эфир