Первый замечательный предел
x→0limxsinx=1.
(см. Пример 2 статьи Предел функции в точке. Свойства пределов)
Следствие 1
x→0limxarcsinx=1.
Замена переменной x=sint. Действительно, согласно свойству 6 предела функции в точке, имеем
x→0limxarcsinx=t→0limsintarcsinsint=t→0limsintt=1.
Следствие 2
x→0limxtgx=1.
Согласно тому, что x→0limcosx=1 и свойству 5 предела функции в точке, получим
x→0limxtgx=x→0limxcosxsinx=x→0limcosxx→0limxsinx=1.
Следствие 3
x→0limxarctgx=1
Замена переменной x=tgt. Согласно свойству 6 предела функции в точке, имеем
x→0limxarctgx=t→0limtgtarctgtgt=t→0limtgtt=1.
Следствие 4
x→0limx21−cosx=21
Используя свойства 6 и 8 предела функции в точке, получим
x→0limx21−cosx=x→0limx22sin22x=21x→0lim(2xsin2x)2=21(x→0lim2xsin2x)2=21
Второй замечательный предел
t→+∞lim(1+t1)t=x→0lim(1+x)1/x=e.
Следствие 5
x→0limxln(1+x)=1.
Используя свойство 6 предела функции в точке, получим
x→0limxln(1+x)=x→0limln(1+x)1/x=ln(x→0lim(1+x)1/x)=lne=1
Следствие 6
x→0limxex−1=1
Замена переменной x=ln(1+t). Используя свойство 6 предела функции в точке и очевидное равенство t→0limln(1+t)=0, получим
x→0limxex−1=t→0limln(1+t)eln(1+t)−1=t→0limln(1+t)t=1.
Следствие 7
x→0limx(1+x)a−1=a.
Замена переменной x=et−1. Используя свойствa 6 и 8 предела функции в точке и очевидное равенство t→0lim(et−1)=0, получим
x→0limx(1+x)a−1=t→0limet−1eat−1=a(t→0limateat−1)(t→0limet−1t)=a.
Следствие 8
Если a>0, то
x→0limxax−1=lna.
Замена переменной x=tlogae. Используя свойство 6 предела функции в точке
x→0limxax−1=t→0limtlogaeet−1=logae1t→0limtet−1=lna.