Изопериметрическая задача

Содержание

  1. 1. Постановка задачи
  2. 2. Шаблон решения
    1. 2.1. Вычисление производных. Уравнение Эйлера-Лагранжа
    2. 2.2. Решение уравнения
    3. 2.3. Определение констант интегрирования
    4. 2.4. Определение значения λ
    5. 2.5. Уравнение экстремали
  3. 3. Примеры
    1. 3.1. Пример 1
    2. 3.2. Пример 2 (Задача Дидоны)
    3. 3.3. Пример 3.
  4. 4. Тест на тему “Изопериметрическая задача”

Постановка задачи

Найти экстремали функционала

J[y]=x0x1L(x,y,y)dx

при условиях

x0x1G(x,y,y)dx=C,y(x0)=y0,y(x1)=y1

У функционала J может и не быть экстремалей в смысле задачи с фиксированными концами. Однако, на множестве кривых y(x), удовлетворяющих условию x0x1G(x,y,y)dx=C, у функционала могут найтись экстремали.

Шаблон решения

Вычисление производных. Уравнение Эйлера-Лагранжа

Рассмотрим функцию

Φ(x,y,y;λ)=L(x,y,y)+λG(x,y,y),

где λ – параметр, подлежащий определению.

Вычисляем производные:

yΦ(x,y,y;λ),yΦ(x,y,y;λ),ddxyΦ(x,y,y;λ).

Выписываем уравнение Эйлера-Лагранжа

ddxyΦ(x,y,y;λ)=yΦ(x,y,y;λ)

и приводим его к максимально простому виду.

Решение уравнения

Решаем полученное дифференциальное уравнение второго порядка. Выписываем общее решение

y=y(x,C1,C2;λ).

Определение констант интегрирования

Используя граничные условия, получаем систему для определения постоянных

{y(x0,C1,C2;λ)=y0y(x1,C1,C2;λ)=y1

Решая данную систему, получаем выражение постоянных через λ

C1=C1(x0,x1,y0,y1;λ),C2=C2(x0,x1,y0,y1;λ).

Определение значения λ

Подставляем найденные в предыдущем пункте значения констант в общее решение

y(x;λ)=y(x,C1(x0,x1,y0,y1;λ),C2(x0,x1,y0,y1);λ)

и интегрируем:

x0x1G(x,y(x;λ),y(x;λ))dx=C(λ).

Находим значение λ из изопериметрического условия C(λ)=C.

Уравнение экстремали

Выписываем уравнение экстремали, подставляя в общее решение y(x,C1,C2;λ) найденные значения постоянных.

Важный частный случай

Если подинтегральные функции L(x,y,y) и G(x,y,y) не зависят от первого аргумента, то уравнение Эйлера-Лагранжа имеет первый интеграл

yΦ(y,y;λ)yΦ(y,y;λ)=C1.

Данное выражение определяет дифференциальное уравнение первого порядка, общее решение которого (зависящее от некоторой постоянной C2) совпадает с решением уравнения Эйлера-Лагранжа.

На практике можно выбирать – решать исходное уравнение Эйлера-Лагранжа, или воспользоваться первым интегралом.
Хотя задачи эквивалентные, но вид уравнений может заметно различаться.

Примеры

Пример 1

Найти экстремали функционала

J[y]=01y2dx

при условиях

01xydx=14,y(0)=0,y(1)=112.

  1. Рассмотрим функцию

Φ(x,y,y;λ)=y2+λxy,

где λ – параметр, подлежащий определению.

Вычисляем производные:

y(y2+λxy)=λx,y(y2+λxy)=2y,

ddxy(y2+λxy)=ddx2y=2y.

Уравнение Эйлера-Лагранжа

2y=λx.

  1. Полученное уравнение легко интегрируется:

y=λx2y=λx24+C1y(x,C1,C2;λ)=λx312+C1x+C2.

  1. Используя граничные условия, получаем систему для определения постоянных

{λ0312+C10+C2=0λ1312+C11+C2=112{C2=0C1=1λ12.

  1. Подставляем найденные в предыдущем пункте значения констант в общее решение

y(x;λ)=λx312+C1x+C2=λx312+(1λ)x12

и интегрируем функцию xy:

01xy(x;λ)dx=01(λx412+(1λ)x212)dx=112(λ5+1λ3).

Найдем значение λ из изопериметрического условия

112(λ5+1λ3)=14.

Получаем λ=20.

  1. Выписываем уравнение экстремали, подставляя в общее решение найденные значения постоянных

y(x)=y(x;20)=5x33+7x4.

Пример 2 (Задача Дидоны)

Найти экстремали функционала

J[y]=01ydx

при условиях

011+y2dx=2,y(0)=y(1)=0

1,2. Подинтегральные функции L(x,y,y)=y и G(x,y,y)=1+y2 не зависят от переменной x, поэтому уравнение Эйлера-Лагранжа задачи имеет первый интеграл

yy(y+λ1+y2)(y+λ1+y2)=C1.

Вычислив частную производную и выполнив элементарные преобразования, получим уравнение

y=λ2(y+C1)21.

Отсюда следует, что

dx=(C1+y)dyλ2(C1+y)2.

Интегрируя, получим

x=(C1+y)dyλ2(C1+y)2=12d(λ2(C1+y)2)C12y2=λ2(C1+y)2+C2.

Таким образом, общее решение уравнения Эйлера-Лагранжа

y(x,C1,C2;λ)=λ2(xC2)2C1.

  1. Используя граничные условия, получаем систему для определения постоянных

{0=λ2(0C2)2C10=λ2(1C2)2C1{C22=(1C2)2C1=λ2C22{C2=12C1=λ214.

  1. Подставляем найденные в предыдущем пункте значения констант в общее решение уравнения Эйлера-Лагранжа:

y(x;λ)=λ2(x12)2λ214.

Заметим, что для определенности выражения должно выполняться неравенство λ>12.

Вычисляем производную

y(x;λ)=x12λ2(x12)2.

Интегрируем:

011+y2dx=λ01dxλ2(x12)2=2λarcsin12λ.

Найдем значение λ из изопериметрического условия

2λarcsin12λ=2λsin1λ=12.

Полученное уравнение имеет единственный корень1 λ0, удовлетворяющий неравенствам2.

Примечание

1Рассмотрим функцию f(λ)=λsin1λ. Из условий f(1/2)<1/2 и f(1)>1/2 следует, что уравнение f(λ)=1/2 имеет корни. Единственность корня следует из монотонности при λ>12: f(λ)=sin1λ1λcos1λ>0.

Примечание

2В силу того, что sin1λ>1λ16λ3, имеем λ0<13. Численное решение уравнения дает λ00.528.

12<λ0<13.

  1. Таким образом, искомая экстремаль – дуга окружности

y(x)=λ02(x12)2λ0214.

Изопериметрическая задача.png

Длина дуги AB=011+y2dx=2. Площадь между дугой и осью абсцисс равна J[y].

Пример 3.

Пример изопериметрической задачи, имеющей бесконечно много экстремалей

Найти экстремали функционала

J[y]=01(y2+y2)dx

при условиях

01y2dx=1,y(0)=y(1)=0

  1. Рассмотрим функцию

Φ(x,y,y;λ)=y2+y2+λy2=y2+(1+λ)y2,

где λ – параметр, подлежащий определению.

Вычисляем производные:

y(y2+(1+λ)y2)=2(1+λ)y,y(y2+(1+λ)y2)=2y,$$ddxy(y2+(1+λ)y2)=ddx2y=2y.

Уравнение Эйлера-Лагранжа

2y=2(1+λ)yy=(1+λ)y.

2,3. Полученное уравнение явлется ЛОДУ второго порядка.

Рассмотрим три случая.

Если 1+λ>0, то общее решение уравнения y=(1+λ)y имеет вид

y=C1ch1+λx+C2sh1+λx.

Граничные условия приводят к тривиальному решению:

{0=C1ch0+C2sh00=C1ch1+λ+C2sh1+λ{C1=0C2sh1+λ=0{C1=0C2=0,

которое не может быть искомой экстремалью в силу изопериметрического условия.

Если 1+λ=0, то общее решение уравнения y=0 имеет вид
y=C1x+C2.

Граничные условия также приводят к тривиальному решению.

Если 1+λ<0, то общее решение уравнения y=(1+λ)y имеет вид

y=C1cos1λx+C2sin1λx.

Граничные условия приводят к соотношению

{0=C1cos0+C2sin00=C1cos1λ+C2sin1λ{C1=0C2sin1λ=0

Таким образом, C2 пока не определено, а постоянная λ может принимать значения λn=1π2n2, при любом целом n.

  1. Подставляем найденные в предыдущем пункте значения констант в общее решение

yn(x)=C2sinπnx.

Интегрируем

01yn2dx=C2201sin2πnxdx=C222.

Найдем значение C2 из изопериметрического условия:

C222=1C2=±2

  1. Выписываем уравнение экстремалей, подставляя в общее решение найденные значения постоянных

yn(x)=2sinπnx.

Здесь n – произвольное ненулевое целое число.

Не получается самостоятельно разобраться с темой? Заказать написание статьи по математике!

Тест на тему “Изопериметрическая задача”

Комментарии

Нет комментариев

Следующая статья

Замечательные пределы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир
Ошибка при получении статей
×
Ошибка при получении статей
×
Ошибка при загрузке теста
×