Производная неявной функции

Производная неявной функции y(x)y(x), заданной уравнением F(x,y)=0F(x,y)=0 вычисляется по формуле

dydx=Fx(x,y)Fy(x,y), \frac{dy}{dx}=-\frac{F'_x(x,y)}{F'_y(x,y)},

где

Fx=FxF'_x=\frac{\partial F}{\partial x}, Fy=FyF'_y=\frac{\partial F}{\partial y}частные производные.

Пример 1

Найти производную функции y(x)y(x), заданной неявно x2ey+y=1 x^2e^y+y=1 и ее экстремумы.

Имеем F(x,y)=x2ey+y1F(x,y)=x^2e^y+y-1. Частные производные

Fx=x(x2ey+y1)=2xey,Fy=y(x2ey+y1)=x2ey+1. \frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2e^y+y-1\right)=2xe^y,\quad \frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(x^2e^y+y-1\right)=x^2e^y+1.

Производная неявной функции

dydx=Fx(x,y)Fy(x,y)=2xeyx2ey+1. \frac{dy}{dx}=-\frac{F'_x(x,y)}{F'_y(x,y)}=-\frac{2xe^y}{x^2e^y+1}.

Учитывая, что из определения неявной функции x2ey+y=1x^2e^y+y=1 следует, что xey=(1y)/xxe^y=(1-y)/x, получим

dydx=2xeyx2ey+1=2(1y)/x(1y)+1=2(y1)x(2y). \frac{dy}{dx}=-\frac{2xe^y}{x^2e^y+1}=-\frac{2(1-y)/x}{(1-y)+1}=\frac{2(y-1)}{x(2-y)}.

Отсюда следует, что точка экстремума функции имеет ординату y=1y=1 на графике. Подстановка y=1y=1 в определяющее функцию равенство x2ey+y=1x^2e^y+y=1 дает x2+1=1x^2+1=1, то есть x=0x=0. Следовательно, неявная функция y(x)y(x) имеет экстремум в точке x=0x=0 и его значение равно y(0)=1y(0)=1.

Вторая производная неявной функции y(x)y(x), заданной уравнением F(x,y)=0F(x,y)=0 вычисляется по формуле

d2ydx2=FxxFy22FxyFxFy+FyyFx2Fy3, \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{F_{xx}''F_y'^2-2F_{xy}''F_x'F_y'+F_{yy}''F_x'^2}{F_y'^3},

где

Fαβ=2Fαβ F''_{\alpha\beta}=\frac{\partial^2 F}{\partial \alpha\partial\beta} – вторые частные производные.

Пример 2

Найти вторую производную функции y(x)y(x), заданной неявно x2ey+y=1x^2e^y+y=1 и точки перегиба ее графика.

Имеем F(x,y)=x2ey+y1F(x,y)=x^2e^y+y-1. Первые частные производные вычислены выше. Вторые частные производные:

2Fx2=x(2xey)=2ey,\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(2xe^y\right)=2e^y,

2Fyx=y(2xey)=2xey,\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\left(2xe^y\right)=2xe^y,

2Fy2=y(x2ey+1)=x2ey.\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\left(x^2e^y+1\right)=x^2e^y.

Вторая производная неявной функции

d2ydx2=2ey(x2ey+1)222xey2xey(x2ey+1)+x2ey(2xey)2)(x2ey+1)3. \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{2e^y\left(x^2e^y+1\right)^2-2\cdot 2xe^y\cdot 2xe^y\left(x^2e^y+1\right)+x^2e^y\left(2xe^y\right)^2)}{\left(x^2e^y+1\right)^3}.

Учитывая, что из определения неявной функции x2ey+y=1x^2e^y+y=1 следует, что xey=(1y)/xxe^y=(1-y)/x, получим

d2ydx2=2ey(2y)28ey(1y)(2y)+4ey(1y)2)(2y)3=2ey(y24y+2)(2y)3. \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{2e^y(2-y)^2-8e^y(1-y)(2-y)+4e^y(1-y)^2)}{(2-y)^3}=\frac{2e^y\left(y^2-4y+2\right)}{(2-y)^3}.

Ординаты точек перегиба на графике найдем из уравнения y=0y''=0, то есть y24y+2=0y^2-4y+2=0. Решениями данного уравнения являтся числа 2±22\pm\sqrt{2}. Однако, из равенства y=1x2eyy=1-x^2e^y следует, что y1y\le 1. Таким образом, точки перегиба имеют ординату y0=22y_0=2-\sqrt{2} и абсциссы

x1,2=±(21)e22. x_{1,2}=\pm\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)e^{\sqrt{2}-2}}.

производная неявной функции.png

На графике неявной функции y(x)y(x) отмечены точки перегиба.

Научная статья по математике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!

Тест по теме «Производная неявной функции»

Комментарии

Нет комментариев

Предыдущая статья

Неявная функция
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир