Производная неявной функции y(x)y(x), заданной уравнением F(x,y)=0F(x,y)=0 вычисляется по формуле
dydx=−Fx′(x,y)Fy′(x,y),
где
Fx′=∂F∂x, Fy′=∂F∂y – частные производные.
Пример 1
Найти производную функции y(x), заданной неявно x2ey+y=1 и ее экстремумы.
Имеем F(x,y)=x2ey+y−1. Частные производные
∂F∂x=∂∂x(x2ey+y−1)=2xey,∂F∂y=∂∂y(x2ey+y−1)=x2ey+1.
Производная неявной функции
dydx=−Fx′(x,y)Fy′(x,y)=−2xeyx2ey+1.
Учитывая, что из определения неявной функции x2ey+y=1 следует, что xey=(1−y)/x, получим
dydx=−2xeyx2ey+1=−2(1−y)/x(1−y)+1=2(y−1)x(2−y).
Отсюда следует, что точка экстремума функции имеет ординату y=1 на графике. Подстановка y=1 в определяющее функцию равенство x2ey+y=1 дает x2+1=1, то есть x=0. Следовательно, неявная функция y(x) имеет экстремум в точке x=0 и его значение равно y(0)=1.
Вторая производная неявной функции y(x), заданной уравнением F(x,y)=0 вычисляется по формуле
d2ydx2=−Fxx′′Fy′2−2Fxy′′Fx′Fy′+Fyy′′Fx′2Fy′3,
где
Fαβ′′=∂2F∂α∂β – вторые частные производные.
Пример 2
Найти вторую производную функции y(x), заданной неявно x2ey+y=1 и точки перегиба ее графика.
Имеем F(x,y)=x2ey+y−1. Первые частные производные вычислены выше. Вторые частные производные:
∂2F∂x2=∂∂x(2xey)=2ey,
∂2F∂y∂x=∂∂y(2xey)=2xey,
∂2F∂y2=∂∂y(x2ey+1)=x2ey.
Вторая производная неявной функции
d2ydx2=−2ey(x2ey+1)2−2⋅2xey⋅2xey(x2ey+1)+x2ey(2xey)2)(x2ey+1)3.
Учитывая, что из определения неявной функции x2ey+y=1 следует, что xey=(1−y)/x, получим
d2ydx2=−2ey(2−y)2−8ey(1−y)(2−y)+4ey(1−y)2)(2−y)3=2ey(y2−4y+2)(2−y)3.
Ординаты точек перегиба на графике найдем из уравнения y′′=0, то есть y2−4y+2=0. Решениями данного уравнения являтся числа 2±2. Однако, из равенства y=1−x2ey следует, что y≤1. Таким образом, точки перегиба имеют ординату y0=2−2 и абсциссы
x1,2=±(2−1)e2−2.
На графике неявной функции y(x) отмечены точки перегиба.
Научная статья по математике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!
Комментарии