Производная неявной функции y ( x ) y(x) y ( x ) , заданной уравнением F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F ( x , y ) = 0 вычисляется по формуле
d y d x = − F x ′ ( x , y ) F y ′ ( x , y ) ,
\frac{dy}{dx}=-\frac{F'_x(x,y)}{F'_y(x,y)},
d x d y = − F y ′ ( x , y ) F x ′ ( x , y ) ,
где
F x ′ = ∂ F ∂ x F'_x=\frac{\partial F}{\partial x} F x ′ = ∂ x ∂ F , F y ′ = ∂ F ∂ y F'_y=\frac{\partial F}{\partial y} F y ′ = ∂ y ∂ F – частные производные .
Пример 1
Найти производную функции y ( x ) y(x) y ( x ) , заданной неявно x 2 e y + y = 1
x^2e^y+y=1
x 2 e y + y = 1 и ее экстремумы.
Имеем F ( x , y ) = x 2 e y + y − 1 F(x,y)=x^2e^y+y-1 F ( x , y ) = x 2 e y + y − 1 . Частные производные
∂ F ∂ x = ∂ ∂ x ( x 2 e y + y − 1 ) = 2 x e y , ∂ F ∂ y = ∂ ∂ y ( x 2 e y + y − 1 ) = x 2 e y + 1.
\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2e^y+y-1\right)=2xe^y,\quad
\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(x^2e^y+y-1\right)=x^2e^y+1.
∂ x ∂ F = ∂ x ∂ ( x 2 e y + y − 1 ) = 2 x e y , ∂ y ∂ F = ∂ y ∂ ( x 2 e y + y − 1 ) = x 2 e y + 1 .
Производная неявной функции
d y d x = − F x ′ ( x , y ) F y ′ ( x , y ) = − 2 x e y x 2 e y + 1 .
\frac{dy}{dx}=-\frac{F'_x(x,y)}{F'_y(x,y)}=-\frac{2xe^y}{x^2e^y+1}.
d x d y = − F y ′ ( x , y ) F x ′ ( x , y ) = − x 2 e y + 1 2 x e y .
Учитывая, что из определения неявной функции x 2 e y + y = 1 x^2e^y+y=1 x 2 e y + y = 1 следует, что x e y = ( 1 − y ) / x xe^y=(1-y)/x x e y = ( 1 − y ) / x , получим
d y d x = − 2 x e y x 2 e y + 1 = − 2 ( 1 − y ) / x ( 1 − y ) + 1 = 2 ( y − 1 ) x ( 2 − y ) .
\frac{dy}{dx}=-\frac{2xe^y}{x^2e^y+1}=-\frac{2(1-y)/x}{(1-y)+1}=\frac{2(y-1)}{x(2-y)}.
d x d y = − x 2 e y + 1 2 x e y = − ( 1 − y ) + 1 2 ( 1 − y ) / x = x ( 2 − y ) 2 ( y − 1 ) .
Отсюда следует, что точка экстремума функции имеет ординату y = 1 y=1 y = 1 на графике. Подстановка y = 1 y=1 y = 1 в определяющее функцию равенство x 2 e y + y = 1 x^2e^y+y=1 x 2 e y + y = 1 дает x 2 + 1 = 1 x^2+1=1 x 2 + 1 = 1 , то есть x = 0 x=0 x = 0 . Следовательно, неявная функция y ( x ) y(x) y ( x ) имеет экстремум в точке x = 0 x=0 x = 0 и его значение равно y ( 0 ) = 1 y(0)=1 y ( 0 ) = 1 .
Вторая производная неявной функции y ( x ) y(x) y ( x ) , заданной уравнением F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F ( x , y ) = 0 вычисляется по формуле
d 2 y d x 2 = − F x x ′ ′ F y ′ 2 − 2 F x y ′ ′ F x ′ F y ′ + F y y ′ ′ F x ′ 2 F y ′ 3 ,
\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{F_{xx}''F_y'^2-2F_{xy}''F_x'F_y'+F_{yy}''F_x'^2}{F_y'^3},
d x 2 d 2 y = − F y ′ 3 F x x ′ ′ F y ′ 2 − 2 F x y ′ ′ F x ′ F y ′ + F y y ′ ′ F x ′ 2 ,
где
F α β ′ ′ = ∂ 2 F ∂ α ∂ β
F''_{\alpha\beta}=\frac{\partial^2 F}{\partial \alpha\partial\beta}
F α β ′ ′ = ∂ α ∂ β ∂ 2 F – вторые частные производные .
Пример 2
Найти вторую производную функции y ( x ) y(x) y ( x ) , заданной неявно x 2 e y + y = 1 x^2e^y+y=1 x 2 e y + y = 1 и точки перегиба ее графика.
Имеем F ( x , y ) = x 2 e y + y − 1 F(x,y)=x^2e^y+y-1 F ( x , y ) = x 2 e y + y − 1 . Первые частные производные вычислены выше. Вторые частные производные:
∂ 2 F ∂ x 2 = ∂ ∂ x ( 2 x e y ) = 2 e y , \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(2xe^y\right)=2e^y, ∂ x 2 ∂ 2 F = ∂ x ∂ ( 2 x e y ) = 2 e y ,
∂ 2 F ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ( 2 x e y ) = 2 x e y , \frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\left(2xe^y\right)=2xe^y, ∂ y ∂ x ∂ 2 F = ∂ y ∂ ( 2 x e y ) = 2 x e y ,
∂ 2 F ∂ y 2 = ∂ ∂ y ( x 2 e y + 1 ) = x 2 e y . \frac{\partial^2 F}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\left(x^2e^y+1\right)=x^2e^y. ∂ y 2 ∂ 2 F = ∂ y ∂ ( x 2 e y + 1 ) = x 2 e y .
Вторая производная неявной функции
d 2 y d x 2 = − 2 e y ( x 2 e y + 1 ) 2 − 2 ⋅ 2 x e y ⋅ 2 x e y ( x 2 e y + 1 ) + x 2 e y ( 2 x e y ) 2 ) ( x 2 e y + 1 ) 3 .
\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{2e^y\left(x^2e^y+1\right)^2-2\cdot 2xe^y\cdot 2xe^y\left(x^2e^y+1\right)+x^2e^y\left(2xe^y\right)^2)}{\left(x^2e^y+1\right)^3}.
d x 2 d 2 y = − ( x 2 e y + 1 ) 3 2 e y ( x 2 e y + 1 ) 2 − 2 ⋅ 2 x e y ⋅ 2 x e y ( x 2 e y + 1 ) + x 2 e y ( 2 x e y ) 2 ) .
Учитывая, что из определения неявной функции x 2 e y + y = 1 x^2e^y+y=1 x 2 e y + y = 1 следует, что x e y = ( 1 − y ) / x xe^y=(1-y)/x x e y = ( 1 − y ) / x , получим
d 2 y d x 2 = − 2 e y ( 2 − y ) 2 − 8 e y ( 1 − y ) ( 2 − y ) + 4 e y ( 1 − y ) 2 ) ( 2 − y ) 3 = 2 e y ( y 2 − 4 y + 2 ) ( 2 − y ) 3 .
\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{2e^y(2-y)^2-8e^y(1-y)(2-y)+4e^y(1-y)^2)}{(2-y)^3}=\frac{2e^y\left(y^2-4y+2\right)}{(2-y)^3}.
d x 2 d 2 y = − ( 2 − y ) 3 2 e y ( 2 − y ) 2 − 8 e y ( 1 − y ) ( 2 − y ) + 4 e y ( 1 − y ) 2 ) = ( 2 − y ) 3 2 e y ( y 2 − 4 y + 2 ) .
Ординаты точек перегиба на графике найдем из уравнения y ′ ′ = 0 y''=0 y ′ ′ = 0 , то есть y 2 − 4 y + 2 = 0 y^2-4y+2=0 y 2 − 4 y + 2 = 0 . Решениями данного уравнения являтся числа 2 ± 2 2\pm\sqrt{2} 2 ± 2 . Однако, из равенства y = 1 − x 2 e y y=1-x^2e^y y = 1 − x 2 e y следует, что y ≤ 1 y\le 1 y ≤ 1 . Таким образом, точки перегиба имеют ординату y 0 = 2 − 2 y_0=2-\sqrt{2} y 0 = 2 − 2 и абсциссы
x 1 , 2 = ± ( 2 − 1 ) e 2 − 2 .
x_{1,2}=\pm\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)e^{\sqrt{2}-2}}.
x 1 , 2 = ± ( 2 − 1 ) e 2 − 2 .
На графике неявной функции y ( x ) y(x) y ( x ) отмечены точки перегиба.
Научная статья по математике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!
Тест по теме «Производная неявной функции»
Комментарии