Частные производные

Пусть $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ – функция $n$ переменных (в стандартных курсах рассматриваются функции
двух $f(x,y)$ или трех $f(x,y,z)$ переменных).

Частной производной функции $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ по аргументу $x_k$ называется предел

$\frac{\partial f}{\partial x_k}=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\frac{f(x_1,\cdots,x_k+\varepsilon,\cdots,x_n)-f(x_1,\cdots,x_k,\cdots,x_n)}{\varepsilon},$

если он существует.

Говоря проще, частная производная по аргументу $x_k$ вычисляется как обычная производная, при этом все остальные аргументы $x_1,\cdots,x_{k-1},x_{k+1},\cdots,x_n$ считаются константами.

Для частной производной также используются обозначения $f'_{x_k}$ и даже $f_{x_k}$.

Производная

$\frac{\partial^2f}{\partial x_k^2}=\frac{\partial}{\partial x_k}\left(\frac{\partial f}{\partial x_k}\right)$

называется повторной, а производная

$\frac{\partial^2f}{\partial x_k\partial x_i}=\frac{\partial}{\partial x_k}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)$

$i\ne k$

называется смешанной.

Смешанная производная не зависит от порядка:
$\frac{\partial^2f}{\partial x_k\partial x_i}=\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_k}.$

Пример 1

Найти частные производные функции

$f(x,y)=x^2\sin y-\cos{3xy}$.

Дифференцируем функцию по аргументу $x$ считая, что $y$ – константа:

$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\sin y-\cos{3xy}\right)=2x\sin y+3y\sin{3xy}.$

Дифференцируем функцию по аргументу $y$ считая, что $x$ – константа:

$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\sin y-\cos{3xy}\right)=x^2\cos y+3x\sin 3xy.$

Пример 2

Найти повторные и смешанные производные функции

$u(x,y,z)=xyz+z^3+y^2+x$.

Первые производные:

$u_x=\frac{\partial }{\partial x}\left(xyz+z^3+y^2+x\right)=yz+1,$

$u_y=\frac{\partial }{\partial y}\left(xyz+z^3+y^2+x\right)=xz+2y,$

$u_z=\frac{\partial }{\partial z}\left(xyz+z^3+y^2+x\right)=xy+3z^2.$

Повторные производные:

$u_{xx}=\frac{\partial u_x}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(yz+1)=0,$

$u_{yy}=\frac{\partial u_y}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(xz+2y)=2,$

$u_{zz}=\frac{\partial u_z}{\partial z}=\frac{\partial }{\partial z}\left(xy+3z^2\right)=6z.$

Смешанные производные:
$u_{xy}=\frac{\partial u_y}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(xz+2y)=z,$

$u_{yz}=\frac{\partial u_z}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(xy+3z^2\right)=x,$

$u_{zx}=\frac{\partial u_x}{\partial z}=\frac{\partial }{\partial z}(yz+1)=y.$

Здесь использованы обозначения

$u_x=\frac{\partial u}{\partial x}$,

$u_{yy}=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$,

$u_{zx}=\frac{\partial^2 u}{\partial z\partial x}$ и т.д.

для частных производных.

Не знаете, сколько стоит статья по математике на заказ? Обратитесь к нашим экспертам!

Тест по теме “Частные производные”