Пусть f(x1 ,x2 ,⋯,xn ) – функция n переменных (в стандартных курсах рассматриваются функции
двух f(x,y) или трех f(x,y,z) переменных).
Частной производной функции f(x1 ,x2 ,⋯,xn ) по аргументу xk называется предел
∂xk ∂f =ε→0lim εf(x1 ,⋯,xk +ε,⋯,xn )−f(x1 ,⋯,xk ,⋯,xn ) ,
если он существует.
Говоря проще, частная производная по аргументу xk вычисляется как обычная производная, при этом все остальные аргументы x1 ,⋯,xk−1 ,xk+1 ,⋯,xn считаются константами.
Для частной производной также используются обозначения fxk ′ и даже fxk .
Производная
∂xk2 ∂2f =∂xk ∂ (∂xk ∂f )
называется повторной, а производная
∂xk ∂xi ∂2f =∂xk ∂ (∂xi ∂f )
i =k
называется смешанной.
Смешанная производная не зависит от порядка:
∂xk ∂xi ∂2f =∂xi ∂xk ∂2f .
Пример 1
Найти частные производные функции
f(x,y)=x2siny−cos3xy.
Дифференцируем функцию по аргументу x считая, что y – константа:
∂x∂f =∂x∂ (x2siny−cos3xy)=2xsiny+3ysin3xy.
Дифференцируем функцию по аргументу y считая, что x – константа:
∂y∂f =∂y∂ (x2siny−cos3xy)=x2cosy+3xsin3xy.
Пример 2
Найти повторные и смешанные производные функции
u(x,y,z)=xyz+z3+y2+x.
Первые производные:
ux =∂x∂ (xyz+z3+y2+x)=yz+1,
uy =∂y∂ (xyz+z3+y2+x)=xz+2y,
uz =∂z∂ (xyz+z3+y2+x)=xy+3z2.
Повторные производные:
uxx =∂x∂ux =∂x∂ (yz+1)=0,
uyy =∂y∂uy =∂y∂ (xz+2y)=2,
uzz =∂z∂uz =∂z∂ (xy+3z2)=6z.
Смешанные производные:
uxy =∂x∂uy =∂x∂ (xz+2y)=z,
uyz =∂y∂uz =∂y∂ (xy+3z2)=x,
uzx =∂z∂ux =∂z∂ (yz+1)=y.
Здесь использованы обозначения
ux =∂x∂u ,
uyy =∂y2∂2u ,
uzx =∂z∂x∂2u и т.д.
для частных производных.
Тест по теме “Частные производные”
Комментарии