Градиент функции. Производная по направлению

Содержание

  1. 1. Производная по направлению
  2. 2. Выражение производной по направлению через градиент
  3. 3. Тест по теме “Градиент функции. Производная по направлению”

Пусть F(x,y,z)F(x,y,z) – функция трех переменных, (x,y,z)(x,y,z) – декартовы координаты.

Градиентом функции F(x,y,z)F(x,y,z) называется векторное поле

F(x,y,z)=Fxi+Fyj+Fzk, \nabla F(x,y,z)=\frac{\partial F}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial F}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial F}{\partial z}\mathbf{k},

где Fx\frac{\partial F}{\partial x}, Fy\frac{\partial F}{\partial y} и Fz\frac{\partial F}{\partial z}частные производные функции F(x,y,z)F(x,y,z), а i\mathbf{i}, j\mathbf{j} и k\mathbf{k} – базис декартовой системы координат (x,y,z)(x,y,z).

Иногда градиент обозначается так: gradF(x,y,z)\operatorname{grad} F(x,y,z).

Градиент функции в данной точке показывает направление наибольшего роста функции.

Пример 1

Найти градиент функции F(x,y,z)=ln(x2+y2+z2)F(x,y,z)=\ln(x^2+y^2+z^2) в точке M(1,2,3)M(1,2,3).

Вычислим частные производные:
Fx=xln(x2+y2+z2)=2xx2+y2+z2, \frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\ln(x^2+y^2+z^2)=\frac{2x}{x^2+y^2+z^2},

Fy=yln(x2+y2+z2)=2yx2+y2+z2, \frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\ln(x^2+y^2+z^2)=\frac{2y}{x^2+y^2+z^2},

Fz=zln(x2+y2+z2)=2zx2+y2+z2. \frac{\partial F}{\partial z}=\frac{\partial }{\partial z}\ln(x^2+y^2+z^2)=\frac{2z}{x^2+y^2+z^2}.

Градиент в точке M(1,2,3)M(1,2,3) (подставляем в формулы для частных производных значения x=1x=1, y=2y=2, z=3z=3):

F(M)=17 i+27 j+37 k=17 OM. \nabla F(M)=\frac{1}{7}\,\,\mathbf{i}+\frac{2}{7}\,\,\mathbf{j}+\frac{3}{7}\,\,\mathbf{k}=\frac{1}{7}\,\,\overrightarrow{OM}.

Производная по направлению

Пусть FF – функция на плоскости или в пространстве.

Производной функции FF по направлению вектора a\mathbf{a} в точке MM называется число

Fa(M)=1addεF(M+εa)ε=0, \frac{\partial F}{\partial\mathbf{a}}(M)=\frac{1}{\|\mathbf{a}\|}\left.\frac{d}{d\varepsilon}F\left(M+\varepsilon \mathbf{a}\right)\right|_{\varepsilon=0},

если производная в правой части существует.

Пример 2

Найдем производную функции F(x,y,z)=x2yy2z+z2xF(x,y,z)=x^2y-y^2z+z^2x по направлению вектора a=i2j+2k\mathbf{a}=\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k} в точке M(1,0,1)M(-1,0,1).

Вычисляем значение функции в точке M+εaM+\varepsilon \mathbf{a} с координатами (1+ε,2ε,1+2ε)(-1+\varepsilon,-2\varepsilon,1+2\varepsilon):

F(M+εa)=(1+ε)2(2ε)(2ε)2(1+2ε)+(1+2ε)2(1+ε)=6ε35ε1. F\left(M+\varepsilon \mathbf{a}\right)=(-1+\varepsilon)^2(-2\varepsilon)-(-2\varepsilon)^2(1+2\varepsilon)+(1+2\varepsilon)^2(-1+\varepsilon)=-6{\varepsilon^{3}}-5\varepsilon-1.

Длина вектора a\mathbf{a}:

a=a12+a22+a32=12+(2)2+22=9=3. \|\mathbf{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{9}=3.

Производная по направлению:
Fa(M)=1addεF(M+εa)ε=0=13ddε(6ε35ε1)ε=0=53 \frac{\partial F}{\partial\mathbf{a}}(M)=\frac{1}{\|\mathbf{a}\|}\left.\frac{d}{d\varepsilon}F\left(M+\varepsilon \mathbf{a}\right)\right|_{\varepsilon=0}=\frac{1}{3}\left.\frac{d}{d\varepsilon}\left(-6{\varepsilon^{3}}-5\varepsilon-1\right)\right|_{\varepsilon=0}=-\frac{5}{3}

Выражение производной по направлению через градиент

Используя формулу Тейлора для функций нескольких переменных, легко получить выражение производной по направлению через градиент. Действительно, из равенства

F(M+εa)=F(M)+ε(F(M),a)+o(ε2)F\left(M+\varepsilon \mathbf{a}\right)=F(M)+\varepsilon\left(\nabla F(M),\mathbf{a}\right)+o\left(\varepsilon^2\right)

следует, что

ddεF(M+εa)ε=0=(F(M),a). \left.\frac{d}{d\varepsilon}F\left(M+\varepsilon \mathbf{a}\right)\right|_{\varepsilon=0}=\left(\nabla F(M),\mathbf{a}\right).

Таким образом,

Fa(M)=(F(M),a)a. \frac{\partial F}{\partial\mathbf{a}}(M)=\frac{\left(\nabla F(M),\mathbf{a}\right)}{\|\mathbf{a}\|}.

Пример 22'

Найдем производную функции F(x,y,z)=x2yy2z+z2xF(x,y,z)=x^2y-y^2z+z^2x по направлению вектора a=i2j+2k\mathbf{a}=\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k} в точке M(1,0,1)M(-1,0,1) используя градиент.

Частные производные:

Fx(M)=2xy+z2(x,y,z)=(1,0,1)=1, \frac{\partial F}{\partial x}(M)=\left.2xy+z^2\right|_{(x,y,z)=(-1,0,1)}=1,

Fy(M)=x22yz(x,y,z)=(1,0,1)=1, \frac{\partial F}{\partial y}(M)=\left.x^2-2yz\right|_{(x,y,z)=(-1,0,1)}=1,

Fz(M)=y2+2zx(x,y,z)=(1,0,1)=2. \frac{\partial F}{\partial z}(M)=\left.-y^2+2zx\right|_{(x,y,z)=(-1,0,1)}=-2.

Градиент:

F(M)=i+j2k. \nabla F(M)=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}.

Скалярное произведение:

(F(M),a)=(i+j2k,i2j+2k)=124=5. \left(\nabla F(M),\mathbf{a}\right)=\left(\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k},\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k}\right)=1-2-4=-5.

Производная по направлению:

Fa(M)=(F(M),a)a=53. \frac{\partial F}{\partial\mathbf{a}}(M)=\frac{\left(\nabla F(M),\mathbf{a}\right)}{\|\mathbf{a}\|}=-\frac{5}{3}.

Статья по математике на заказ от проверенных исполнителей!

Тест по теме “Градиент функции. Производная по направлению”

Комментарии

Нет комментариев

Предыдущая статья

Частные производные

Следующая статья

Неявная функция
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир