Пусть F(x,y,z) – функция трех переменных, (x,y,z) – декартовы координаты.
Градиентом функции F(x,y,z) называется векторное поле
∇F(x,y,z)=∂F∂xi+∂F∂yj+∂F∂zk,
где ∂F∂x, ∂F∂y и ∂F∂z – частные производные функции F(x,y,z), а i, j и k – базис декартовой системы координат (x,y,z).
Иногда градиент обозначается так: gradF(x,y,z).
Градиент функции в данной точке показывает направление наибольшего роста функции.
Пример 1
Найти градиент функции F(x,y,z)=ln(x2+y2+z2) в точке M(1,2,3).
Вычислим частные производные:
∂F∂x=∂∂xln(x2+y2+z2)=2xx2+y2+z2,
∂F∂y=∂∂yln(x2+y2+z2)=2yx2+y2+z2,
∂F∂z=∂∂zln(x2+y2+z2)=2zx2+y2+z2.
Градиент в точке M(1,2,3) (подставляем в формулы для частных производных значения x=1, y=2, z=3):
∇F(M)=17i+27j+37k=17OM→.
Производная по направлению
Пусть F – функция на плоскости или в пространстве.
Производной функции F по направлению вектора a в точке M называется число
∂F∂a(M)=1∥a∥ddεF(M+εa)∣ε=0,
если производная в правой части существует.
Пример 2
Найдем производную функции F(x,y,z)=x2y−y2z+z2x по направлению вектора a=i−2j+2k в точке M(−1,0,1).
Вычисляем значение функции в точке M+εa с координатами (−1+ε,−2ε,1+2ε):
F(M+εa)=(−1+ε)2(−2ε)−(−2ε)2(1+2ε)+(1+2ε)2(−1+ε)=−6ε3−5ε−1.
Длина вектора a:
∥a∥=a12+a22+a32=12+(−2)2+22=9=3.
Производная по направлению:
∂F∂a(M)=1∥a∥ddεF(M+εa)∣ε=0=13ddε(−6ε3−5ε−1)∣ε=0=−53
Выражение производной по направлению через градиент
Используя формулу Тейлора для функций нескольких переменных, легко получить выражение производной по направлению через градиент. Действительно, из равенства
F(M+εa)=F(M)+ε(∇F(M),a)+o(ε2)
следует, что
ddεF(M+εa)∣ε=0=(∇F(M),a).
Таким образом,
∂F∂a(M)=(∇F(M),a)∥a∥.
Пример 2′
Найдем производную функции F(x,y,z)=x2y−y2z+z2x по направлению вектора a=i−2j+2k в точке M(−1,0,1) используя градиент.
Частные производные:
∂F∂x(M)=2xy+z2∣(x,y,z)=(−1,0,1)=1,
∂F∂y(M)=x2−2yz∣(x,y,z)=(−1,0,1)=1,
∂F∂z(M)=−y2+2zx∣(x,y,z)=(−1,0,1)=−2.
Градиент:
∇F(M)=i+j−2k.
Скалярное произведение:
(∇F(M),a)=(i+j−2k,i−2j+2k)=1−2−4=−5.
Производная по направлению:
∂F∂a(M)=(∇F(M),a)∥a∥=−53.
Статья по математике на заказ от проверенных исполнителей!
Комментарии