Неявная функция

Говорят, что функция $y=y(x)$ с областью определения $D(y)$ задана неявно, если $F\left(x,y(x)\right)\equiv 0$ для некоторой функции $F(x,y)$ двух переменных и любого $x\in D(y)$.

Пример 1

Выражение $e^y\sqrt{1-x}+y=0$ задает некоторую функцию $y=y(x)$ с областью определения $D(y)=(-\infty;1]$.

Действительно, если $x\le 1$, то $G(y)=e^y\sqrt{1-x}$ является функцией аргумента $y$, монотонно возрастающей от 0 до $\sqrt{1-x}$ при $y\in(-\infty;0]$. С другой стороны, $H(y)=-y$ является функцией аргумента $y$, монотонно убывающей от $+\infty$ до 0 при $y\in(-\infty;0]$. Графики этих функций изображены на рисунке. Очевидно, графики пересекаются лишь в одной точке, которая и определяет значение $y(x)$.

Для любого $x\in (-\infty;1]$ существует единственное $y(x)\in (-\infty;0]$, что $e^{y(x)}\sqrt{1-x}=-y(x)$.

Однако далеко не любая функция $F(x,y)$ определяет неявную функцию $y(x)$ однозначно, как в данном примере.

Для любой достаточно хорошей (например, дифференцируемой) функции $F$ выражение вида $F(x,y)=0$ естественным образом задает некоторую линию (или набор линий и точек) на координатной плоскости. Если любая вертикальная прямая пересекает данную линию не более, чем в одной точке, то $F(x,y)=0$ задает некоторую функцию. Если же точек пересечения больше, то говорят о многозначной функции.

Пример 2

Кривая $e^{2y}(x-1)+y^2=0$ изображена на рисунке. Эта кривая определяет три функции. Функция $y=y_1(x)$ с областью определения $D(y_1)=(-\infty;1]$ построена в первом примере. Действительно, равенство $e^{2y}(x-1)+y^2=0$ следует из равенства $e^y\sqrt{1-x}+y=0$.

На рисунке можно видеть графики функций $y=y_2(x)$ и $y=y_3(x)$ с областями определения $D(y_2)=[x_A;1]$ и $D(y_3)=[x_A;1)$. Эти неявные функции определяются равенством $e^y\sqrt{1-x}=y$.

Графики трех ветвей неявной функции, заданной уравнением $e^{2y}(x-1)+y^2=0.$

Контрольный вопрос: чему равно $x_A$?

Ответ: $x_A=1-e^{-2}$.

Вы можете заказать написание статьи по математике для публикации на Студворк!

Тест по теме “Неявная функция”