Одномерная задача с закрепленными концами

Постановка задачи

Данная задача чаще всего формулируется так:

Найти экстремали функционала

$J [y]=\int\limits_{x_0}^{x_1}L (x, y, y')dx$

$y(x_0)=y_0,\,\,y(x_1)=y_1$

Шаблон решения

Вычисление производных. Уравнение Эйлера

Уравнение Эйлера для данного функционала:

$\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'}L(x,y,y')=\frac{\partial}{\partial y}L(x,y,y')$

Вычисляем производные:

$\frac{\partial}{\partial y}L\left(x,y,y'\right)$,

$\frac{\partial}{\partial y'}L\left(x,y,y'\right)$,

$\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'}L\left(x,y,y'\right)$

Выписываем уравнение Эйлера и приводим его к максимально простому виду.

Решение уравнения

Решаем полученное уравнение и выписываем общее решение:

$y=y(x,C_1,C_2)$.

Определение констант

Используя граничные условия, получаем систему для определения постоянных:

$\left\{\begin{array}{l} y\left(x_0,C_1,C_2\right)=y_0\\ y\left(x_1,C_1,C_2\right)=y_1 \end{array}\right.$

Решая данную систему, получаем значения констант

$C_1=C_1(x_0,x_1,y_0,y_1)$,

$C_2=C_2(x_0,x_1,y_0,y_1)$.

Уравнение экстремали

Подставляем найденные в предыдущем пункте значения констант в общее решение и получаем уравнение экстремали функционала

$y_*(x)=y(x,C_1(x_0,x_1,y_0,y_1), C_2(x_0,x_1,y_0,y_1))$.

Важный частный случай

Если подинтегральная функция $L\left(x,y,y'\right)$ не зависит от первого аргумента, то уравнение Эйлера имеет первый интеграл

$y'\frac{\partial L\left(y,y'\right)}{\partial y'}-L\left(y,y'\right)=C_1$

Данное выражение определяет дифференциальное уравнение первого порядка, общее решение которого (зависящее от некоторой постоянной $C_2$) совпадает с решением уравнения Эйлера (См. пример 2 ниже).

Примеры

Пример 1

Найти экстремали функционала

$J [y]=\int\limits_{0}^{\pi/2}(4y \cos x+y'^2 - y^2) dx$

$y(0)=0,\,\,y(\pi/2)=1$.

Решение

1. Уравнение Эйлера для данного функционала имеет вид:

${\frac{d}{dx} \frac{\partial }{\partial y{'} }(4y\cos x+y{'} ^{2} -y^{2} =\frac{\partial }{\partial y} (4y\cos x+y{'} ^{2} -y^{2}})$

Вычислим производные:

$\frac{\partial}{\partial y}\left(4y\cos x+y{'} ^{2} -y^{2}\right)=4\cos x-2y,\quad\frac{\partial}{\partial y'}\left(4y\cos x+y{'}^{2} -y^{2}\right)=2y',$

$\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'}\left(4y\cos x+y{'} ^{2} -y^{2}\right)=\frac{d}{dx}\left(2y'\right)=2y''.$

Таким образом, уравнение может быть записано как

$2y''=4\cos x-2y\,\,\Leftrightarrow\,\, y''+y=2\cos x$

1. Уравнение Эйлера является неоднородным ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение соответствующего однородного уравнения

$y_{0} =C_{1} \cos x+C_{2} \sin x.$

Решение неоднородного уравнения ищем в виде

$y_{1} =Ax\cos x+Bx\sin x.$

Подстановка в уравнение Эйлера дает

$y''+y=-2A\sin x+2B\cos x=2\cos x.$

Следовательно, $A=0$ и $B=1$.

Таким образом, общее решение уравнения Эйлера

$y=C_{1} \cos x+C_{2} \sin x+x\sin x.$

1. Используя граничные условия, получаем систему для определения постоянных

$\left\{\begin{array}{l} C_{1} \cos 0+C_{2} \sin 0+0\sin 0=0\\ C_{1} \cos \pi/2+C_{2} \sin \pi/2+\left(\pi/2\right)\sin \pi/2=1 \end{array}\right.$

Решая данную систему, получим

$\left\{\begin{array}{l} C_{1}=0\\ C_{2}+\pi/2=1 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} C_{1}=0\\ C_{2}=1-{\pi}/{2} \end{array}\right.$

1. Подставляем найденные в предыдущем пункте значения констант в общее решение и получаем уравнение экстремали функционала $J$

$y_*(x)=\left(x+1-\frac{\pi}{2}\right) \sin x.$

Пример 2

Найти экстремали функционала

$J[y]=\int\limits_{0}^{2}\frac{\sqrt{1+y'^2}}{y}dx,$

$y(0)=0,\,\,y(2)=4.$

Решение

1, 2. Подинтегральная функция $L\left(x,y,y'\right)=\frac{\sqrt{1+y'^2}}{y}$ не зависит от переменной $x$, поэтому уравнение Эйлера для данного функционала имеет первый интеграл

$y'\frac{\partial }{\partial y'}\frac{\sqrt{1+y'^2}}{y}-\frac{\sqrt{1+y'^2}}{y}=C,$

где $C$ – некоторая постоянная.

Вычислив частную производную и выполнив элементарные преобразования, получим уравнение

$y'=\sqrt{\frac{C_1^2}{y^2}-1}$,

где $C_1=1/C$.

Отсюда следует, что

$dx=\frac{yd y}{\sqrt{C_1^2-y^2}}.$

Интегрируя, получим

$x=\int\frac{y d y}{\sqrt{C_1^2-y^2}}=-\frac{1}{2}\int\frac{d (C_1^2-y^2)}{\sqrt{C_1^2-y^2}}=-\sqrt{C_1^2-y^2}+C_2.$

Таким образом, общее решение уравнения Эйлера

$y(x)=\sqrt{C_1^2-(x-C_2)^2}.$

1. Используя граничные условия, получаем систему для определения постоянных

$\left\{\begin{array}{l} 0=\sqrt{C_1^2-(0-C_2)^2}\\ 4=\sqrt{C_1^2-(2-C_2)^2} \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} C_1=\pm C_2\\ 16=4C_2-4\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} C_1=\pm 5\\ C_2=5 \end{array}\right.$

1. Подставляем найденные в предыдущем пункте значения констант в общее решение и получаем уравнение экстремали функционала $J$

$y_*(x)=\sqrt{10x-x^2}.$

Экстремаль является дугой окружности радиуса 5 с центром в точке $(5,0)$.

Пример 3

Важно отметить, что существуют функционалы, у которых нет экстремалей, удовлетворяющих данным граничным условиям.

Найти экстремали функционала

$J[y]=\int\limits_{0}^{1}(xy+y^2-2y^2y')d x$,

$y(0)=y_0,\,\,y(1)=y_1.$

Решение

Уравнение Эйлера для данного функционала имеет вид

$\frac{d}{dx} \frac{\partial }{\partial y{'} } \left(xy+y^2-2y^2y'\right)=\frac{\partial }{\partial y} \left(xy+y^2-2y^2y'\right)$

Вычислим производные:

$\frac{\partial}{\partial y}\left(xy+y^2-2y^2y'\right)=x+2y-4yy',\quad\frac{\partial}{\partial y'}\left(xy+y^2-2y^2y'\right)=-2y^2,$

$\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'}\left(xy+y^2-2y^2y'\right)=\frac{d}{dx}\left(-2y^2\right)=-4yy'.$

Таким образом, уравнение Эйлера может быть записано как

$x+2y-4yy'=-4yy'\,\,\Leftrightarrow\,\, y=-\frac{x}{2}$

и по сути не является дифференциальным.

Исходный функционал имеет только одну экстремаль $y=-\frac{x}{2}$. Поставленная задача имеет решение только если $y_0=0$ и $y_1=-\frac{1}{2}$.

Вам нужно срочно заказать статью по математике для публикации? Обратитесь за помощью к нашим экспертам!

Тест по теме «Одномерная задача с закрепленными концами»