Идея представления функции в виде многочлена с остаточным слагаемым основана на разложении функции в степенной ряд.
Бесконечно дифференцируемую в точке x 0 x_0 x 0 f ( x ) f(x) f ( x ) ( x − x 0 ) (x-x_0) ( x − x 0 )
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) 1 ! ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + … + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + … = f(x)=f(x_0)+\dfrac{f{'}(x_0)}{1!}(x-x_0) +\dfrac{f{''}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +\ldots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +\ldots = f ( x ) = f ( x 0 ) + 1 ! f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + 2 ! f ′ ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 2 + … + n ! f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n + … =
= ∑ k = 0 ∞ f ( k ) ( x 0 ) k ! ( x − x 0 ) k =\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k = k = 0 ∑ ∞ k ! f ( k ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) k
Этот ряд называют рядом Тейлора.
В случае x 0 = 0 x_0=0 x 0 = 0
f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ′ ′ ( 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + … + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + … = f(x)=f(0)+\dfrac{f{'}( 0)}{1!} x +\dfrac{f{''}(0)}{2!}(x-x_0)^2 +\ldots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +\ldots = f ( x ) = f ( 0 ) + 1 ! f ′ ( 0 ) x + 2 ! f ′ ′ ( 0 ) ( x − x 0 ) 2 + … + n ! f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n + … =
= ∑ k = 0 ∞ f ( k ) ( x 0 ) k ! ( x − x 0 ) k =\sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k = k = 0 ∑ ∞ k ! f ( k ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) k
называют рядом Маклорена .
Запишем разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена, укажем соответствующие интервалы сходимости и приведем примеры их определения.
e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + … + x n n ! + … = ∑ k = 1 ∞ x n n ! , ∣ x ∣ < ∞ e^x=1+\dfrac{x}{1!} +\dfrac{x^2}{2!} +\dfrac{x^3}{3!}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!}+\ldots=\sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!},\quad |x|<\infty e x = 1 + 1 ! x + 2 ! x 2 + 3 ! x 3 + … + n ! x n + … = k = 1 ∑ ∞ n ! x n , ∣ x ∣ < ∞
Тригонометрические функции :
sin x = x 1 ! − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + … + ( − 1 ) n + 1 x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! + … = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 x 2 k − 1 ( 2 k − 1 ) ! , ∣ x ∣ < ∞ \sin x=\dfrac{x}{1!} -\dfrac{x^3}{3!} +\dfrac{x^5}{5!} -\dfrac{x^7}{7!} +\ldots+\dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\ldots=\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}x^{2 k -1}}{(2 k -1)!},\quad |x|<\infty sin x = 1 ! x − 3 ! x 3 + 5 ! x 5 − 7 ! x 7 + … + ( 2 n − 1 ) ! ( − 1 ) n + 1 x 2 n − 1 + … = k = 1 ∑ ∞ ( 2 k − 1 ) ! ( − 1 ) k + 1 x 2 k − 1 , ∣ x ∣ < ∞
cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + … + ( − 1 ) n + 1 x 2 n ( 2 n ) ! + … = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k x 2 k ( 2 k ) ! , ∣ x ∣ < ∞ \cos x=1 -\dfrac{x^2}{2!} +\dfrac{x^4}{4!} -\dfrac{x^6}{6!} +\ldots+\dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n}}{(2n)!}+\ldots=\sum\limits_{ k =0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k}x^{2 k }}{(2 k)!},\quad |x|<\infty cos x = 1 − 2 ! x 2 + 4 ! x 4 − 6 ! x 6 + … + ( 2 n ) ! ( − 1 ) n + 1 x 2 n + … = k = 0 ∑ ∞ ( 2 k ) ! ( − 1 ) k x 2 k , ∣ x ∣ < ∞
arctg x = x − x 3 3 + x 5 5 − x 7 7 + … + ( − 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 + … = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k x 2 k + 1 2 k + 1 , ∣ x ∣ ≤ 1 \arctg x=x-\dfrac{x^3}{3} +\dfrac{x^5}{5} -\dfrac{x^7}{7} +\ldots+\dfrac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}+\ldots=\sum\limits_{ k =0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k }x^{2 k +1}}{2 k +1},\quad |x|\le{1} arctg x = x − 3 x 3 + 5 x 5 − 7 x 7 + … + 2 n + 1 ( − 1 ) n x 2 n + 1 + … = k = 0 ∑ ∞ 2 k + 1 ( − 1 ) k x 2 k + 1 , ∣ x ∣ ≤ 1
ln ( 1 + x ) = x 1 ! − x 2 2 ! + x 3 3 ! − x 4 4 ! + … + ( − 1 ) n + 1 x n n ! + … = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 x k k ! , x ∈ ( − 1 ; 1 ] \ln (1+x)=\dfrac{x}{1!} -\dfrac{x^2}{2!} +\dfrac{x^3}{3!} -\dfrac{x^4}{4!} +\ldots+\dfrac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n!}+\ldots=\sum\limits_{ k =1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{ k +1}x^{ k }}{ k!},\quad x\in (-1;1] ln ( 1 + x ) = 1 ! x − 2 ! x 2 + 3 ! x 3 − 4 ! x 4 + … + n ! ( − 1 ) n + 1 x n + … = k = 1 ∑ ∞ k ! ( − 1 ) k + 1 x k , x ∈ ( − 1 ; 1 ]
( 1 + x ) α = 1 + α 1 ! x + α ( α − 1 ) 2 ! x 2 + α ( α − 1 ) ( α − 2 ) 3 ! x 3 + … + α ( α − 1 ) … ( α − n + 1 ) n ! x n + … = (1+x)^\alpha=1+\dfrac{\alpha }{1!}x+\dfrac{\alpha (\alpha -1)}{2!}x^2 +\dfrac{\alpha (\alpha -1)( \alpha -2)}{3!} x^3 +\ldots+\dfrac{\alpha (\alpha -1) \ldots ( \alpha-n+1)} {n!} {x^n}+\ldots= ( 1 + x ) α = 1 + 1 ! α x + 2 ! α ( α − 1 ) x 2 + 3 ! α ( α − 1 ) ( α − 2 ) x 3 + … + n ! α ( α − 1 ) … ( α − n + 1 ) x n + … =
= ∑ k = 0 ∞ α ( α − 1 ) … ( α − k + 1 ) k ! x k =\sum\limits_{ k =0}^{\infty} \dfrac{\alpha (\alpha -1) \ldots ( \alpha-k+1)}{ k!} {x^ k } = k = 0 ∑ ∞ k ! α ( α − 1 ) … ( α − k + 1 ) x k
1 1 − x = 1 + x + x 2 + … + x n + … = ∑ k = 0 ∞ x k , ∣ x ∣ < 1 \dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+\ldots+x^n+\ldots =\sum\limits_{ k =0}^{\infty}x^{ k },\quad |x|<1 1 − x 1 = 1 + x + x 2 + … + x n + … = k = 0 ∑ ∞ x k , ∣ x ∣ < 1
Найдем для функции:
f ( x ) = sin x f(x)=\sin x f ( x ) = sin x
интервал сходимости ряда:
f ( x ) = sin x = = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! f(x)=\sin x==\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n-1}}{(2n-1)!} f ( x ) = sin x = = n = 1 ∑ ∞ ( 2 n − 1 ) ! ( − 1 ) n + 1 x 2 n − 1
Воспользуемся признаком Даламбера:
lim n → ∞ ∣ a n + 1 a n ∣ = lim n → ∞ ∣ x 2 n + 1 / ( 2 n + 1 ) ! x 2 n − 1 / ( 2 n − 1 ) ! ∣ = x 2 lim n → ∞ 1 2 n ( 2 n + 1 ) = 0 \lim\limits_{n \to \infty } \left | \dfrac {a_{n+1}}{a_n} \right | = \lim\limits_{n \to \infty } \left | \dfrac {x^{2n+1}/{(2n+1)!}}{ x^{2n-1}/{(2n-1)!}} \right | =x^2 \lim\limits_{n \to \infty } \dfrac {1} {2n(2n+1)}=0 n → ∞ lim ∣ ∣ ∣ ∣ a n a n + 1 ∣ ∣ ∣ ∣ = n → ∞ lim ∣ ∣ ∣ ∣ x 2 n − 1 / ( 2 n − 1 ) ! x 2 n + 1 / ( 2 n + 1 ) ! ∣ ∣ ∣ ∣ = x 2 n → ∞ lim 2 n ( 2 n + 1 ) 1 = 0
Полученный результат говорит о том, что предел равен нулю для любого x x x интервалом сходимости ряда является вся числовая ось .
Найдем интервал сходимости ряда для функции
f ( x ) = arctg x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 , ∣ x ∣ ≤ 1 f(x)=\arctg x= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}, \quad |x|\le{1} f ( x ) = arctg x = n = 0 ∑ ∞ 2 n + 1 ( − 1 ) n x 2 n + 1 , ∣ x ∣ ≤ 1
Воспользовавшись признаком Даламбера применительно к степенному ряду, получаем:
lim n → ∞ ∣ a n + 1 a n ∣ = lim n → ∞ ∣ x 2 n + 1 / ( 2 n + 1 ) x 2 n − 1 / ( 2 n − 1 ) ∣ = x 2 lim n → ∞ 2 n − 1 2 n + 1 = x 2 lim n → ∞ 2 − 1 n 2 + 1 n = x 2 \lim\limits_{n \to \infty } \left | \dfrac {a_{n+1}}{a_n} \right | = \lim\limits_{n \to \infty } \left | \dfrac {x^{2n+1}/(2n+1)}{ x^{2n-1}/(2n-1)} \right | =x^2 \lim\limits_{n \to \infty } \dfrac {2n-1} {2n+1}=x^2 \lim\limits_{n \to \infty } \dfrac {2-\dfrac{1}{n}}{2+\dfrac{1}{n}}= x^2 n → ∞ lim ∣ ∣ ∣ ∣ a n a n + 1 ∣ ∣ ∣ ∣ = n → ∞ lim ∣ ∣ ∣ ∣ x 2 n − 1 / ( 2 n − 1 ) x 2 n + 1 / ( 2 n + 1 ) ∣ ∣ ∣ ∣ = x 2 n → ∞ lim 2 n + 1 2 n − 1 = x 2 n → ∞ lim 2 + n 1 2 − n 1 = x 2
Условие сходимости по этому признаку имеет вид:
x 2 < 1 x^2<1 x 2 < 1
В граничных точках x = ± 1 x=\pm1 x = ± 1
∑ n = 0 ∞ a n x 2 n + 1 \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^{2n+1} n = 0 ∑ ∞ a n x 2 n + 1
где ∣ a n ∣ = 1 n + 1 |a_n|=\dfrac {1}{n+1} ∣ a n ∣ = n + 1 1
Заметим, что
lim n → ∞ ∣ a n ∣ = 0 \lim\limits_{n \to \infty } |a_n|=0 n → ∞ lim ∣ a n ∣ = 0
и, согласно признаку Лейбница, знакопеременный ряд сходится. Таким образом, интервалом сходимости исходного ряда является: ∣ x ∣ ≤ 1 |x| \le 1 ∣ x ∣ ≤ 1
Идея использования рядов для приближенного вычисления примечательна тем, что можно добиться требуемой точности, т.е. фактически найти требуемое значение со сколь угодно высокой точностью.
Пример
Вычислим значение числа e e e f ( x ) = e x f(x)=e^x f ( x ) = e x x = 1 x=1 x = 1
e 1 = 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + 1 4 ! + 1 5 ! + e c 6 ! , 0 ≤ c ≤ 1 e^1=1+\dfrac {1}{1!} +\dfrac {1}{2!} +\dfrac {1}{3!} +\dfrac {1}{4!} +\dfrac {1}{5!} +\dfrac {e^c}{6!},\quad 0\le c \le 1 e 1 = 1 + 1 ! 1 + 2 ! 1 + 3 ! 1 + 4 ! 1 + 5 ! 1 + 6 ! e c , 0 ≤ c ≤ 1
Далее:
e 1 = 163 60 ! + e c 6 ! ≈ 2.716 + e c 6 ! , 0 ≤ c ≤ 1 e^1=\dfrac {163}{60!} +\dfrac {e^c}{6!}\approx 2.716+\dfrac {e^c}{6!},\quad 0\le c \le 1 e 1 = 6 0 ! 1 6 3 + 6 ! e c ≈ 2 . 7 1 6 + 6 ! e c , 0 ≤ c ≤ 1
Учитывая, что e c 6 ! < 0.0014 \dfrac {e^c}{6!}<0.0014 6 ! e c < 0 . 0 0 1 4 e ≈ 2.72 e \approx 2.72 e ≈ 2 . 7 2
На практике часто встречаются такие пределы, которые нельзя найти, используя первый и второй замечательные пределы, правило Лопиталя или другие способы вычислений. В этих случаях можно воспользоваться разложением элементарных функций в степенной ряд Маклорена и уже затем найти сам предел.
Пример
Вычислим:
lim x → 0 e 2 x − 1 − 2 x − 2 x 2 x − sin x \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac {e^{2x}-1-2x-2x^2}{x-\sin {x}} x → 0 lim x − sin x e 2 x − 1 − 2 x − 2 x 2
Заменим e x e^x e x sin x \sin{x} sin x
lim x → 0 e 2 x − 1 − 2 x − 2 x 2 x − sin x = lim x → 0 ( 1 + 2 x + 4 x 2 2 ! + 8 x 3 3 ! + … ) − 1 − 2 x − 2 x 2 x − ( x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − … ) = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac {e^{2x}-1-2x-2x^2}{x-\sin {x}}=\lim\limits_{x \to 0 } \dfrac {\left( 1+2x+\dfrac{4x^2}{2!}+\dfrac{8x^3}{3!}+\ldots \right)-1-2x-2x^2}{x-\left( x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\ldots \right)}= x → 0 lim x − sin x e 2 x − 1 − 2 x − 2 x 2 = x → 0 lim x − ( x − 3 ! x 3 + 5 ! x 5 − … ) ( 1 + 2 x + 2 ! 4 x 2 + 3 ! 8 x 3 + … ) − 1 − 2 x − 2 x 2 =
= lim x → 0 8 x 3 3 ! + 16 x 4 4 ! + … x 3 3 ! − x 5 5 ! + … = lim x → 0 8 3 ! + 16 x 4 ! + … 1 3 ! − x 2 5 ! + … = 8 =\lim\limits_{x \to 0 } \dfrac {\dfrac{8x^3}{3!}+\dfrac{16x^4}{4!}+\ldots} {\dfrac{x^3}{3!} -\dfrac{x^5}{5!}+\ldots} = \lim\limits_{x \to 0 } \dfrac {\dfrac{8}{3!}+\dfrac {16x}{4!} +\ldots} {\dfrac{1}{3!} -\dfrac{x^2}{5!}+\ldots}=8 = x → 0 lim 3 ! x 3 − 5 ! x 5 + … 3 ! 8 x 3 + 4 ! 1 6 x 4 + … = x → 0 lim 3 ! 1 − 5 ! x 2 + … 3 ! 8 + 4 ! 1 6 x + … = 8
Конечно, на практике лучше всего вычислять точное значение определенного интеграла. Но очень часто соответствующие неопределенные интегралы является «неберущимися». Поэтому для приближенного вычисления определенного интеграла используется разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.
Пример
Вычислим с точностью до третьего знака после запятой:
∫ 0 1 x 3 e − x d x \displaystyle \int\limits_0^1 \sqrt[3] x e^{-x} dx 0 ∫ 1 3 x e − x d x
Для приближенного вычисления этого определенного интеграла используется разложение функции f ( x ) = s q r t [ 3 ] x e − x f(x)= sqrt[3] x e^{-x} f ( x ) = s q r t [ 3 ] x e − x
f ( x ) = s q r t [ 3 ] x e − x = x 1 / 3 − x 4 / 3 + 1 2 x 7 / 3 − 1 6 x 10 / 3 + … f(x)= sqrt[3] x e^{-x}=x^{1/3}-x^{4/3}+\dfrac{1}{2}x^{7/3}-\dfrac{1}{6}x^{10/3}+\ldots f ( x ) = s q r t [ 3 ] x e − x = x 1 / 3 − x 4 / 3 + 2 1 x 7 / 3 − 6 1 x 1 0 / 3 + …
Интервал, заданный пределами интегрирования: 0 ≤ x ≤ 1 0 \le x \le 1 0 ≤ x ≤ 1 ( − ∞ ; + ∞ ) (-\infty;+\infty) ( − ∞ ; + ∞ )
Интегрируя почленно, получаем:
∫ 0 1 f ( x ) = ∫ 0 1 x 1 / 3 d x − ∫ 0 1 x 4 / 3 d x + 1 2 ∫ 0 1 x 7 / 3 d x − 1 6 ∫ 0 1 x 10 / 3 d x + … = \displaystyle\int\limits_0^1 f(x)= \int\limits_0^1 x^{1/3}dx-\int\limits_0^1 x^{4/3}dx+\dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 x^{7/3}dx-\dfrac{1}{6}\int\limits_0^1 x^{10/3}dx+\ldots= 0 ∫ 1 f ( x ) = 0 ∫ 1 x 1 / 3 d x − 0 ∫ 1 x 4 / 3 d x + 2 1 0 ∫ 1 x 7 / 3 d x − 6 1 0 ∫ 1 x 1 0 / 3 d x + … =
= 3 4 x 4 / 3 ∣ 0 1 − 3 7 x 7 / 3 ∣ 0 1 + 3 2 ⋅ 10 x 10 / 3 ∣ 0 1 − 3 6 ⋅ 13 x 13 / 3 ∣ 0 1 + … = \dfrac{3}{4} \Biggl. x^{4/3}\Biggr |_0^1-\dfrac{3}{7} \Biggl. x^{7/3}\Biggr |_0^1+\dfrac{3}{2 \cdot 10} \Biggl. x^{10/3}\Biggr |_0^1-\dfrac{3}{6 \cdot 13} \Biggl. x^{13/3}\Biggr|_0^1+\ldots = 4 3 x 4 / 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 1 − 7 3 x 7 / 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 1 + 2 ⋅ 1 0 3 x 1 0 / 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 1 − 6 ⋅ 1 3 3 x 1 3 / 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 1 + …
и с учетом требуемой точности:
∫ 0 1 x 3 e − x d x ≈ 3 4 − 3 7 + 3 2 ⋅ 10 − 3 6 ⋅ 13 ≈ 9 28 + 29 260 ≈ 197 455 ≈ 0 , 433 \displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt[3] x e^{-x} dx \approx \dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{7}+\dfrac{3}{2 \cdot 10}-\dfrac{3}{6 \cdot 13}\approx \dfrac{9}{28}+\dfrac{29}{260} \approx \dfrac{197}{455} \approx 0,433 0 ∫ 1 3 x e − x d x ≈ 4 3 − 7 3 + 2 ⋅ 1 0 3 − 6 ⋅ 1 3 3 ≈ 2 8 9 + 2 6 0 2 9 ≈ 4 5 5 1 9 7 ≈ 0 , 4 3 3
Комментарии 1
Ошибка в разложении логарифма. Факториала в знаменателе ряда не должно быть