Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Формула и ряд Маклорена

Содержание

  1. 1. Ряды Тейлора и Маклорена
  2. 2. Пример 1
  3. 3. Пример 2
  4. 4. Применение формулы и рядов Маклорена
    1. 4.1. Вычисление значений функций
    2. 4.2. Вычисление пределов функций
  5. 5. Вычисление определенных интегралов

Идея представления функции в виде многочлена с остаточным слагаемым основана на разложении функции в степенной ряд.

Ряды Тейлора и Маклорена

Бесконечно дифференцируемую в точке x0 функцию действительной переменной f(x) можно разложить в ряд по степеням двучлена (xx0):

f(x)=f(x0)+f(x0)1!(xx0)+f(x0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+=

=k=0f(k)(x0)k!(xx0)k

Этот ряд называют рядом Тейлора.

В случае x0=0, полученный степенной ряд:

f(x)=f(0)+f(0)1!x+f(0)2!(xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+=

=k=0f(k)(x0)k!(xx0)k

называют рядом Маклорена.

Запишем разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена, укажем соответствующие интервалы сходимости и приведем примеры их определения.

  • Показательная функция:

ex=1+x1!+x22!+x33!++xnn!+=k=1xnn!,x<

  • Тригонометрические функции:

sinx=x1!x33!+x55!x77!++(1)n+1x2n1(2n1)!+=k=1(1)k+1x2k1(2k1)!,x<

cosx=1x22!+x44!x66!++(1)n+1x2n(2n)!+=k=0(1)kx2k(2k)!,x<

arctgx=xx33+x55x77++(1)nx2n+12n+1+=k=0(1)kx2k+12k+1,x1

  • Логарифмическая функции:

ln(1+x)=x1!x22!+x33!x44!++(1)n+1xnn!+=k=1(1)k+1xkk!,x(1;1]

  • Степенная функции:

(1+x)α=1+α1!x+α(α1)2!x2+α(α1)(α2)3!x3++α(α1)(αn+1)n!xn+=

=k=0α(α1)(αk+1)k!xk

11x=1+x+x2++xn+=k=0xk,x<1

Пример 1

Найдем для функции:

f(x)=sinx

интервал сходимости ряда:

f(x)=sinx==n=1(1)n+1x2n1(2n1)!

Воспользуемся признаком Даламбера:

limnan+1an=limnx2n+1/(2n+1)!x2n1/(2n1)!=x2limn12n(2n+1)=0

Полученный результат говорит о том, что предел равен нулю для любого x, и, следовательно, интервалом сходимости ряда является вся числовая ось.

Пример 2

Найдем интервал сходимости ряда для функции

f(x)=arctgx=n=0(1)nx2n+12n+1,x1

Воспользовавшись признаком Даламбера применительно к степенному ряду, получаем:

limnan+1an=limnx2n+1/(2n+1)x2n1/(2n1)=x2limn2n12n+1=x2limn21n2+1n=x2

Условие сходимости по этому признаку имеет вид:

x2<1

В граничных точках x=±1 получаем знакопеременный ряд вида:

n=0anx2n+1,

где an=1n+1

Заметим, что

limnan=0

и, согласно признаку Лейбница, знакопеременный ряд сходится. Таким образом, интервалом сходимости исходного ряда является: x1.

Применение формулы и рядов Маклорена

Вычисление значений функций

Идея использования рядов для приближенного вычисления примечательна тем, что можно добиться требуемой точности, т.е. фактически найти требуемое значение со сколь угодно высокой точностью.

Пример

Вычислим значение числа e с точностью до второго знака после запятой. Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции f(x)=ex при x=1, вычислив сумму до шестого члена в разложении и с остаточным членом в форме Лагранжа:

e1=1+11!+12!+13!+14!+15!+ec6!,0c1

Далее:

e1=16360!+ec6!2.716+ec6!,0c1

Учитывая, что ec6!<0.0014 получаем результат e2.72

Вычисление пределов функций

На практике часто встречаются такие пределы, которые нельзя найти, используя первый и второй замечательные пределы, правило Лопиталя или другие способы вычислений. В этих случаях можно воспользоваться разложением элементарных функций в степенной ряд Маклорена и уже затем найти сам предел.

Пример

Вычислим:

limx0e2x12x2x2xsinx

Заменим ex и sinx их разложениями в степенные ряды, находим:

limx0e2x12x2x2xsinx=limx0(1+2x+4x22!+8x33!+)12x2x2x(xx33!+x55!)=

=limx08x33!+16x44!+x33!x55!+=limx083!+16x4!+13!x25!+=8

Вычисление определенных интегралов

Конечно, на практике лучше всего вычислять точное значение определенного интеграла. Но очень часто соответствующие неопределенные интегралы является «неберущимися». Поэтому для приближенного вычисления определенного интеграла используется разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.

Пример

Вычислим с точностью до третьего знака после запятой:

01x3exdx

Для приближенного вычисления этого определенного интеграла используется разложение функции f(x)=sqrt[3]xex в ряд Маклорена:

f(x)=sqrt[3]xex=x1/3x4/3+12x7/316x10/3+

Интервал, заданный пределами интегрирования: 0x1 входит в радиус сходимости полученного ряда (;+).

Интегрируя почленно, получаем:

01f(x)=01x1/3dx01x4/3dx+1201x7/3dx1601x10/3dx+=

=34x4/30137x7/301+3210x10/3013613x13/301+

и с учетом требуемой точности:

01x3exdx3437+32103613928+292601974550,433

Не знаете, сколько стоит статья по математике на заказ? Обратитесь к нашим экспертам!

Комментарии
1

Ошибка в разложении логарифма. Факториала в знаменателе ряда не должно быть

Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир
Ошибка при получении статей
×
Ошибка при получении статей
×