Сравнение функций

Эквивалентные функции

Говорят, что функции $f$ и $g$, определенные в некоторой проколотой окрестности точки $x_0$ (возможно, $x_0=\pm\infty$) эквивалентны, если

$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1.$

Если функции эквивалентны, то мы пишем

$f(x)\sim g(x)\quad\text{при }\,\, x\to x_0.$

Если существует конечный предел $\lim\limits_{x\to x_0 }f(x)=A\ne 0$, то, очевидно,

$f(x)\sim A\,\,\text{при}\,\,x\to x_0.$

Если $\lim\limits_{x\to x_0 }f(x)= 0$, то говорят, что величина $f(x)$ бесконечно малая при $x\to x_0$.

Пример 1

Как следует из статьи замечательные пределы, имеют место следующие эквивалентности

$\sin x\sim\operatorname{tg} x\sim\operatorname{arcsin} x\sim\operatorname{arctg} x \sim x,\,\, 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}$

$\ln(1+x)\sim x,\,\,(1+x)^a\sim 1 ax,\,\,e^x\sim 1+x\quad\text{при }\,\, x\to 0.$

При вычислении пределов функции можно заменять на эквивалентные.

Пример 2

Вычислить предел

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\sin x}-1}{\arcsin{x}}.$

Заменяем функции на эквивалентные:

$\frac{\sqrt{1+\sin x}-1}{\arcsin{x}}\sim\frac{\sqrt{1+ x}-1}{{x}}\sim\frac{1+\frac{1}{2}x-1}{x}=\frac{1}{2}$

Таким образом,

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\sin x}-1}{\arcsin{x}}=\frac{1}{2}.$

Однако, как показывает следующий предел, замена выражений на эквивалентные при вычислении пределов может привести к неопределенности:

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{\arcsin x-x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x- x}{ x-x}=\frac{0}{0}.$

O-большое

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ определены в некоторой проколотой окрестности точки $x_0$ (или определены для достаточно больших значений $|x|$, если $x_0=\pm\infty$), причем функция $g(x)$ строго положительна.

Говорят, что $f(x)=O(g(x))$ при $x\to x_0$, если существует постоянная $C>0$ для которой

$|f(x)|<Cg(x).$

Заметим, что запись $f(x)=O(1)$, $x\to x_0$ означает, что $f(x)$ ограничена в некоторой проколотой окрестности точки $x_0$.

Пример 3

• $x=O(e^x)$ при $x\to+\infty$, так как $x<e^x$ для всех $x>0$;

• $e^x=O(|x|)$ при $x\to -\infty$, так как $e^x<|x|$ для всех $x<-1$;

• $\frac{1}{x}=O\left(\frac{1}{x^2}\right)$ при $x\to 0$, так как $\frac{1}{|x|} < \frac{1}{x^2}$ для всех $x\in (-1;0)\cup(0;1)$;

• $\frac{1}{x^2}=O\left(\frac{1}{|x|}\right)$ при $x\to \pm\infty$, так как $\frac{1}{x^2}<\frac{1}{|x|}$ для всех $|x|>1$.

Из определения следует, что условие $f(x)=O(g(x))$ при $x\to x_0$ равносильно тому, что

$\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|<C$

в некоторой проколотой окрестности точки $x_0$.

Если $f(x)=O(g(x))$ и $g(x)=O(f(x))$ при $x\to x_0$, то пишут

$f(x)\asymp g(x),\quad x\to x_0.$

Данное отношение равносильно существованию положительных констант $c,C>0$, для которых в некоторой проколотой окрестности точки $x_0$ выполнено

$c<\frac{f(x)}{g(x)}<C.$

Например, $x\asymp \sqrt{3x^2-1},\quad x\to +\infty$.

Свойства O-большого

• $f_1(x)=O(g_1(x))$, $f_2(x)=O(g_2(x))$ $\Rightarrow$ $f_1(x)f_2(x)=O(g_1(x)g_2(x))$,

в частности если функция $h(x)$ положительна, то $h(x)O(g(x))=O(h(x)g(x))$;

• $f_1(x)=O(g_1(x))$, $f_2(x)=O(g_2(x))$ $\Rightarrow$ $f_1(x)+f_2(x)=O(g_1(x)+g_2(x))$,

в частности $f_1(x), f_2(x)=O(g(x))$ $\Rightarrow$ $f_1(x)+f_2(x)=O(g(x))$;

o-малое

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ определены в некоторой проколотой окрестности точки $x_0$ (или определены для достаточно больших значений $|x|$, если $x_0=\pm\infty$).

Говорят, что $f(x)=o(g(x))$ при $x\to x_0$ ($f(x)$ является бесконечно малой от $g(x)$), если

$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0.$

Заметим, что запись $f(x)=o(1)$, $x\to x_0$ означает, что $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0$.

Пример 4

• $x^a=o(e^x)$ при $x\to+\infty$ для любого $a\in\mathbb{R}$;

• $e^x-1=o(1)$ при $x\to 0$;

• $\sin x-x=o(x)$ при $x\to 0$;

• $1-\cos x=o(x)$ при $x\to 0$.

Свойства o-малого

Свойства o-малого аналогичны свойствам O-большого. Кроме того

$o\left(O(g(x))\right)=O\left(o(g(x))\right)=o(g(x)).$

Пример 5

Покажем, что

$\sin x-x=o\left(x^2\right).$

Действительно, используя неравенство $x\cos x<\sin x<x$, (см. Пример 2 статьи Предел функции в точке), имеем

$0<x-\sin x<x(1-\cos x)=xo(x)=o\left(x^2\right).$

Откуда следует $\sin x-x=o\left(x^2\right)$.

На самом деле имеет место более сильное равенство

$x-\sin x=O\left(x^3\right).$

Следствия формулы Маклорена

Используя ряд Маклорена для элементарных функций, можно получить следующие формулы (ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано)

• $\sin x=x+\frac{x^3}{6}+o(x^4)$

• $\arcsin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)$

• $\tg x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^4)$

• $\operatorname{arctg} x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^4)$

• $\ln(1+ x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$

• $(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)x^2}{2}+o(x^2)$

Пример 6
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{\arcsin x-x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{x^3}{6}+o\left(x^3\right)}{\frac{x^3}{6}+o\left(x^3\right)}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1+o(1)}{1+o(1)}=1.$

Научная статья по математике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!

Тест по теме “Сравнение функций”