Предел функции в точке. Свойства пределов

Предел функции в точке. Свойства пределов

Говорят, что число $A$ является пределом функции $f\colon (a;b) \to\mathbb{R}$ в точке $x_0\in (a;b)$, если для любого числа $\varepsilon>0$ существует такое число $\delta(\varepsilon)>0$, что из $\delta$-близости $x$ и $x_0$ следует $\varepsilon$-близость $f(x)$ и $A$

$|x-x_0|<\delta\quad\Rightarrow \quad|f(x)-A|<\varepsilon.$

Число $A$ является пределом функции $f\colon (a;+\infty) \to\mathbb{R}$ (соотв. $f\colon (-\infty;b) \to\mathbb{R}$)
на $+\infty$ (соотв. на $-\infty$), если для любого числа $\varepsilon>0$ существует такое число $R(\varepsilon)>0$, что

$|x|>R\quad\Rightarrow \quad|f(x)-A|<\varepsilon.$

Если $A$ – предел функции в точке $x_0$ (возможно, $x_0=\pm\infty$), то используется обозначение

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A,\quad\text{или}\quad f(x)\to A\,\,\text{при}\,\,x\to x_0.$

Заметим, что определение предела в точке $x_0$ не зависит от значения $f(x_0)$. То есть функция может быть не определенной в данной точке, как видно из следующего примера.

Пример 1 (первый замечательный предел)

Покажем, что

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.$

Действительно, на рисунке

видно, что площадь сектора $AOD$ меньше площади треугольника $AOC$. Учитывая, что $OA=1$, это неравенство можно записать как

$\frac{1}{2}\overset\frown{AD}<\frac{1}{2}AC.$

Таким образом, для всех $x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$ имеет место двойное неравенство

$\sin x<x<\operatorname{tg} x.$

Отсюда легко следует, что

$x\cos x<\sin x <x$

и

$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1.$

В силу четности функций $\frac{\sin x}{x}$ и $\cos x$, данное неравенство имеет место для всех ненулевых $x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$.

Для любого $\varepsilon>0$ из определения предела можно взять $\delta=\sqrt{2\varepsilon}$. Для такого $\delta(\varepsilon)$ условие (*) выполнено:

$|x|<\sqrt{2\varepsilon}\Rightarrow\left|\frac{\sin x}{x}-1\right|<|1-\cos x|=2\sin^2\frac{x}{2}<\frac{x^2}{2}<\varepsilon.$

Таким образом,

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.$

Свойства пределов

1. Если функция $f(x)$ постоянна и равна $c$, то $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=c$ для любого $x_0$

Если существуют пределы $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ и
$\lim\limits_{x\to x_0}g(x)$, то для любых чисел $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$

1. $\lim\limits_{x\to x_0}\alpha f(x)=\alpha\lim\limits_{x\to x_0} f(x)$

2. $\lim\limits_{x\to x_0}\Bigl(\alpha f(x)+\beta g(x)\Bigr)=\alpha\lim\limits_{x\to x_0} f(x)+\beta\lim\limits_{x\to x_0}g(x)$

3. $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)=\Bigl(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)\Bigr)\Bigl(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\Bigr)$

4. Если к тому же выполнено условие $\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\ne 0$, то

$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\to x_0} f(x)}{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}$

1. Если функция $F$ такова, что существует предел $\lim\limits_{t\to t_0}F(t)$, где $t_0=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$, то

$\lim\limits_{x\to x_0}F\Bigl(f(x)\Bigr)=F\left(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\right)$

1. Если в некоторой окрестности точки $x_0$ выполнено неравенство $f(x)<g(x)$, то

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\le\lim\limits_{x\to x_0}g(x)$

1. Для любого $a\ne 0$

$\lim\limits_{x\to 0}f(ax)=\lim\limits_{x\to 0}f(x)$

Пример 2

Вычислить предел

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}3x}{x}.$

Согласно определению тангенса, тому, что $\lim\limits_{x\to 0}\cos{x}=\cos 0=1$, Примеру 1
и свойствам 5 и 8, получим

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}3x}{x}= \lim\limits_{x\to 0}3\frac{\frac{\sin 3x}{3x}}{\cos 3x}=3\frac{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{3x}}{\lim\limits_{x\to 0}\cos{3x}}=3.$

Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!

Тест на тему “Предел функции в точке. Свойства пределов”