Непрерывность функций

Непрерывность функций

Говорят, что функция $f\colon (a;b) \to\mathbb{R}\,\,\phantom{X}$ непрерывна в точке $x_0\in(a;b)$, если для любого числа $\varepsilon>0$ существует такое число $\delta(\varepsilon)>0$, что из $\delta$-близости $x$ и $x_0$ следует $\varepsilon$-близость $f(x)$ и $f(x_0)$

$|x-x_0|<\delta\quad\Rightarrow \quad|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.$(*)

Сравнивая данное определение с определением предела функции в точке, мы видим, что непрерывность функции $f$ в точке $x_0$ равносильна тому, что

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого множества $V\subset\mathbb{R}$, то говорят, что она непрерывна на данном множестве. Класс функций, непрерывных на данном множестве, обозначается $C(V)$.

Элементарные функции

Все элементарные функции

• степенная $x^a$

• показательная $b^x$ и обратная к ней $\log_b x$, где $b>0$

• тригонометрические и обратные тригонометрические

непрерывны, каждая на своей области определения.

Свойства непрерывных функций

Данные свойства легко следуют из свойств пределов функций в точке

1. Постоянная функция непрерывна

Если функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны на некотором множестве $V$, то для любых чисел $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$

1. функция $\alpha f(x)$ непрерывна;

2. функция $\alpha f(x)+\beta g(x)$ непрерывна;

3. функция $f(x)g(x)$ непрерывна.

4. Если к тому же выполнено условие $g(x)\ne 0$ на $V$, то функция
   $\frac{f(x)}{g(x)}$ непрерывна.

5. Если функция $F$ непрерывна на множестве $f(V)$, то композиция
   $F\Bigl(f(x)\Bigr)$ непрерывна.

Вы можете заказать написание статьи по математике для публикации на Студворк!

Тест по теме «Непрерывность функций»