Processing math: 100%

Дифференциальные уравнения первого порядка

Содержание

  1. 1. Уравнения с разделяющимися переменными
    1. 1.1. Пример
  2. 2. Однородные уравнения
    1. 2.1. Пример
  3. 3. Уравнения Бернулли
    1. 3.1. Пример
  4. 4. Тест по теме «Дифференциальные уравнения первого порядка»

Уравнения с разделяющимися переменными

Разделение переменных подразумевает возможность преобразования исходного дифференциального уравнения таким образом, что в левой части уравнения находятся y и f(y), а в правой g(x).

Пример

exy=sin2y

Делим обе части на exsin2y, а выражение производной записываем как y=dydx. Получаем

dydx1sin2y=1ex

Теперь домножаем на dx, чтобы в обеих частях уравнения получились дифференциалы

dysin2y=dxex

Теперь обе части можно интегрировать

dysin2y=dxex

ctgy=ex+C

ctgy=ex+C

y=arcctg(ex+C)

Однородные уравнения

Однородные уравнения в виде y=f(yx) приводятся к уравнению с разделяющимися переменными при помощи замены

y=xu

y=u+ux

Пример

yxy=x2

Делим обе части на x

yyx=x

Теперь можно сделать замену y=xu

ux+uu=x

ux=x

Разделяем переменные

dudxx=x

dudx=1

du=dx

du=dx

u=x+C
y=ux=(x+C)x=x2+Cx

Уравнения Бернулли

Уравнение Бернулли в общем виде записывается как

y+p(x)y=q(x)yn

Обычно его решают заменой

y=uv

y=uv+uv

Пример

y+xy=ex1y2

Делаем замену y=uv

uv+uv+xuv=ex1(uv)2

В левой части уравнения для второго и третьего слагаемых вынесем за скобки u.

uv+u(v+xv)=ex1(uv)2

Приравняем полученную скобку к нулю и найдем ненулевое частное решение уравнения

v+xv=0

v=xv

dvdx=xv

dvv=xdx

dvv=xdx

lnv=x22

v=ex22

Подставляем полученную функцию в уравнение

uex22=ex1(uex22)2

dudxex22=ex1(uex22)2

dudx=ex1u2ex22

duu2=ex1ex22dx

duu2=ex2dx

duu2=ex2dx

1u=2ex2+C

u=12ex2+C

Подставляем в выражение для y

y=uv=12ex2+Cex22=ex222ex2+C

Статья по математике на заказ от проверенных исполнителей!

Тест по теме «Дифференциальные уравнения первого порядка»

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир
Ошибка при получении статей
×
Ошибка при получении статей
×
Ошибка при загрузке теста
×