Уравнения с разделяющимися переменными
Разделение переменных подразумевает возможность преобразования исходного дифференциального уравнения таким образом, что в левой части уравнения находятся y′ и f(y), а в правой g(x).
Пример
exy′=sin2y
Делим обе части на ex⋅sin2y, а выражение производной записываем как y′=dydx. Получаем
dydx⋅1sin2y=1ex
Теперь домножаем на dx, чтобы в обеих частях уравнения получились дифференциалы
dysin2y=dxex
Теперь обе части можно интегрировать
∫dysin2y=∫dxex
−ctgy=−e−x+C
ctgy=e−x+C
y=arcctg(e−x+C)
Однородные уравнения
Однородные уравнения в виде y′=f(yx) приводятся к уравнению с разделяющимися переменными при помощи замены
y=xu
y′=u+u′x
Пример
y′x−y=x2
Делим обе части на x
y′−yx=x
Теперь можно сделать замену y=xu
u′x+u−u=x
u′x=x
Разделяем переменные
dudx⋅x=x
dudx=1
du=dx
∫du=∫dx
u=x+C
y=ux=(x+C)x=x2+Cx
Уравнения Бернулли
Уравнение Бернулли в общем виде записывается как
y′+p(x)y=q(x)yn
Обычно его решают заменой
y=uv
y′=u′v+uv′
Пример
y′+xy=ex1y2
Делаем замену y=uv
u′v+uv′+xuv=ex1(uv)2
В левой части уравнения для второго и третьего слагаемых вынесем за скобки u.
u′v+u(v′+xv)=ex1(uv)2
Приравняем полученную скобку к нулю и найдем ненулевое частное решение уравнения
v′+xv=0
v′=−xv
dvdx=−xv
dvv=−xdx
∫dvv=−∫xdx
ln∣v∣=−x22
v=e−x22
Подставляем полученную функцию в уравнение
u′e−x22=ex1(ue−x22)2
dudxe−x22=ex1(ue−x22)2
dudx=ex1u2e−x22
duu2=ex1e−x22dx
duu2=e−x2dx
∫duu2=∫e−x2dx
−1u=−2e−x2+C
u=12e−x2+C
Подставляем в выражение для y
y=uv=12e−x2+Ce−x22=e−x222e−x2+C
Статья по математике на заказ от проверенных исполнителей!
Комментарии