Задачи на второй замечательный предел

Второй замечательный предел раскрывает неопределенность $1^\infty$, может встречаться в следующих вариантах

$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$

$\lim_{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=e$

$\lim_{\alpha(x)\to 0}\left(1+\alpha(x)\right)^{\frac{1}{\alpha(x)}}=e$

Примеры решения

Пример 1

$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{3x}=\left(1^{\infty}\right)$

Используем третий вариант формулы

$=\left[\lim_{\alpha(x)\to 0}\left(1+\alpha(x)\right)^{\frac{1}{\alpha(x)}} \right]=\left[ x\to\infty; \frac{2}{x}\to 0; \frac{2}{x}=\alpha; x= \frac{2}{\alpha}\right]=$

$\lim_{\alpha\to 0}({1+\alpha})^\frac{6}{\alpha}=(\lim_{\alpha\to 0}({1+\alpha})^\frac{1}{\alpha})^6=e^6$

Пример 2

$\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{5}{x^2+x+1}\right)^{7x^2}=\left(1^{\infty}\right)$

Используем третий вариант формулы, для этого показатель степени домножаем на
$\frac{-5}{ x^2+x+1}\cdot \frac{ x^2+x+1}{-5}$

Тогда показатель степени примет вид

$7x^2\cdot \frac{-5}{ x^2+x+1}\cdot \frac{ x^2+x+1}{-5}= \frac{-35x^2}{ x^2+x+1}\cdot \frac{1}{\frac{-5}{x^2+x+1}}$

Получаем

$\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{5}{x^2+x+1}\right)^{ \frac{-35x^2}{ x^2+x+1}\cdot \frac{1}{\frac{-5}{x^2+x+1}}}=\lim_{x\to\infty}\left(\left(1-\frac{5}{x^2+x+1}\right)^{\frac{1}{\frac{-5}{x^2+x+1}}}\right)^{\frac{-35x^2}{ x^2+x+1}}=\lim_{x\to\infty}e^{\frac{-35x^2}{ x^2+x+1}}$

Найдем предел показателя степени

$\lim_{x\to\infty}\frac{-35x^2}{x^2+x+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{-35x^2}{x^2\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}=\lim_{x\to\infty}\frac{-35}{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=\frac{-35}{1+0+0}=-35$

То есть
$\lim_{x\to\infty}e^{\frac{-35x^2}{ x^2+x+1}}=e^{-35}$.

Не получается самостоятельно разобраться с темой? Заказать написание статьи по математике!

Тест на тему “Задачи на второй замечательный предел”