Вычисление смешанного произведения векторов

Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов.

Если векторное произведение является вектором, то смешанное произведение – числом. Обозначается смешанное произведение следующим образом: abc,abc,(a,b,c).\vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{c}, \vec{a}\vec{b}\vec{c}, (\vec{a},\vec{b},\vec{c}).

Смешанное произведение векторов a={ax;ay;az},b={bx;by;bz},c={cx;cy;cz}\vec{a}=\left \{ a_{x};a_{y};a_{z} \right \}, \vec{b}=\left \{ b_{x};b_{y};b_{z} \right \}, \vec{c}=\left \{ c_{x};c_{y};c_{z} \right \} можно найти по формуле abc=axayazbxbybzcxcycz.\vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{c}=\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}.

Пример 1

Найти смешанное произведение векторов a={1;2;3},b={1;1;3}\vec{a}=\left \{ 1;2;3 \right \}, \vec{b}=\left \{ -1;-1;-3 \right \} и c={5;3;0}.\vec{c}=\left \{ 5;3;0 \right \}.

Решение

Подставим в формулу abc=axayazbxbybzcxcycz\vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{c}=\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix} координаты векторов и вычислим определитель третьего порядка.

Получим: abc=123113530=1(1)21330+2(1)31350+3(1)41153=0+9215+3(3+5)=930+6=15.\vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{c}=\begin{vmatrix}1&2&3\\-1&-1&-3\\5&3&0\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^2\cdot\begin{vmatrix}-1&-3\\3&0\end{vmatrix}+2\cdot(-1)^3\cdot\begin{vmatrix}-1&-3\\5&0\end{vmatrix}+3\cdot(-1)^4\cdot\begin{vmatrix}-1&-1\\5&3\end{vmatrix}=0+9-2\cdot15+3\cdot(-3+5)=9-30+6=-15.

Пример 2

Найти смешанное произведение векторов e={0;4;2},k={1;2;6}иf={3;0;1}.\vec{e}=\left \{0;4;2 \right \}, \vec{k}=\left \{ -1;2;6 \right \} и \vec{f}=\left \{ 3;0;1 \right \}.

Решение

Подставим в формулу abc=axayazbxbybzcxcycz\vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{c}=\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix} координаты векторов и вычислим определитель третьего порядка.

Получим: ekf=042126301=0(1)22601+4(1)31631+2(1)41230=024(118)+2(06)=04(19)26=7612=64.\vec{e} \cdot \vec{k} \cdot \vec{f}=\begin{vmatrix}0&4&2\\-1&2&6\\3&0&1\end{vmatrix}=0\cdot(-1)^2\cdot\begin{vmatrix}2&6\\0&1\end{vmatrix}+4\cdot(-1)^3\cdot\begin{vmatrix}-1&6\\3&1\end{vmatrix}+2\cdot(-1)^4\cdot\begin{vmatrix}-1&2\\3&0\end{vmatrix}=0\cdot2-4\cdot(-1-18)+2\cdot(0-6)=0-4\cdot(-19)-2\cdot6=76-12=64.

Статья по математике на заказ от проверенных исполнителей!

Тест по теме “Вычисление смешанного произведения векторов”

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир