Вычисление векторного произведения векторов

В операции вычисления векторного произведения так же, как и в операции вычисления скалярного произведения, участвуют два вектора. Векторное произведение обозначается $\vec{a} \times \vec{b}$, где $\vec{a}$ и $\vec{b}$ – векторы, заданные в трехмерном пространстве.

В скалярном произведении векторов участвуют два вектора, в смешанном произведении также участвуют два вектора. Разница между этими произведениями состоит в результате.

Результат скалярного произведения векторов – это число.

Результатом векторного произведения векторов является вектор. Отсюда и название операции.

Векторное произведение двух векторов $\vec{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ и $\vec{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$ в декартовой системе координат – это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

$\vec{a}\times \vec{b}=\begin{vmatrix}i&j&k\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}\vec{k}= (a_{2}\cdot b_{3}-b_{2}\cdot a_{3})\vec{i}-(a_{1}\cdot b_{3}-b_{1}\cdot a_{3})\vec{j}+(a_{1}\cdot b_{2}-b_{1}\cdot a_{2})\vec{k}.$

Пример 1

Найти векторное произведение векторов $\vec{a}(2;3;5)$ и $\vec{b}(1;4;0).$

Решение

$\vec{a}\times \vec{b}=\begin{vmatrix}i&j&k\\2&3&5\\1&4&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3&5\\4&0\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}2&5\\1&0\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}2&3\\1&4\end{vmatrix}\vec{k}= (3\cdot 0-4\cdot 5)\vec{i}-(2\cdot 0-1\cdot 5)\vec{j}+(2\cdot 4-1\cdot 3)\vec{k}=-20\vec{i}+5\vec{j}+5\vec{k}.$

Пример 2

Найти векторное произведение векторов $\vec{a}(2;-1;3)$ и $\vec{b}(3;-2;-1).$

Решение

$\vec{a}\times \vec{b}=\begin{vmatrix}i&j&k\\2&-1&3\\3&-2&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-1&3\\-2&-1\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}2&3\\3&-1\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}2&-1\\3&-2\end{vmatrix}\vec{k}= ((-1)\cdot (-1)-(-2)\cdot 3)\vec{i}-(2\cdot (-1)-3\cdot 3)\vec{j}+(2\cdot (-2)-3\cdot (-1))\vec{k}=7\vec{i}+11\vec{j}-\vec{k}.$

Заказать статью по математике у экспертов биржи Студворк!

Тест по теме «Вычисление векторного произведения векторов»