Как вычислить длину вектора

Вектором является направленный отрезок. Длина этого отрезка является длиной вектора.

Длина вектора $\vec{b}$ обозначается $\left | \vec{b} \right |.$ Модуль числа имеет аналогичное обозначение и длина вектора часто называется модулем вектора.

Длина нулевого вектора равна нулю.

Нахождение длины вектора по его координатам

Длина вектора, который задан своими координатами, – это квадратный корень из суммы квадратов его координат.

Для того чтобы найти длину вектора, заданного своими координатами, нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов его координат.

1. Для вектора $\vec{b}=(b_{x};b_{y}),$ заданного на плоскости, длина вычисляется по формуле $\left |\vec{b} \right|$=$\sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}$.
2. Для вектора $\vec{b}=(b_{x};b_{y};b_{z}),$ заданного в пространстве, длина вычисляется по формуле $\left | \vec{b} \right |=\sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}$.

Пример 1

Найти длину вектора $\vec{b}=(6;-4).$

Вектор задан на плоскости, поэтому воспользуемся первой формулой: $\left | \vec{b} \right |=\sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}$.

Подставим координаты вектора $\vec{b}$ в формулу, получим: $\left | \vec{b} \right |=\sqrt {6^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt {36+16}=\sqrt {52}=2\sqrt {13}$.

Ответ: $2\sqrt {13}$.

Пример 2

Найти длину вектора $\vec{d}=(1;3;5).$

Вектор задан в пространстве, поэтому воспользуемся второй формулой:

$\left | \vec{d} \right |=\sqrt {d_{x}^{2}+d_{y}^{2}+d_{z}^{2}}$.

Подставим координаты вектора $\vec{d}$ в формулу, получим:

$\left | \vec{d} \right |=\sqrt {1^{2}+3^{2}+5^{2}}=\sqrt {1+9+25}=\sqrt {35}$.

Нахождение длины вектора по координатам точек его начала и конца

Для нахождения длины вектора $\vec{CD}$, где $C(c_{x};c_{y})$ и $D(d_{x};d_{y})$ существует определенная последовательность действий:

1. Найти координаты вектора $\vec{CD}$ по формуле: $\left | \vec{CD} \right |=(d_{x}-c_{x};d_{y}-c_{y})$.
2. Найти длину вектора по его координатам по формуле: $\left | \vec{CD} \right |=\sqrt {(d_{x}-c_{x})^{2}+(d_{y}-c_{y})^{2}}$.

Аналогично находится длина вектора $\vec{CD},$ заданного в пространстве, где $C(c_{x};c_{y};c_{z})$ и $D(d_{x};d_{y};d_{z})$:

1. Найти координаты вектора $\vec{CD}$ по формуле: $\vec{CD}=(d_{x}-c_{x};d_{y}-c_{y};d_{z}-c_{z}).$
2. Найти длину вектора по его координатам по формуле: $\left | \vec{CD} \right |=\sqrt {(d_{x}-c_{x})^{2}+(d_{y}-c_{y})^{2}+(d_{z}-c_{z})^{2}}$.

Пример 1

На плоскости заданы точки $E(-1;3) и K(3;-4)$. Найти длину вектора $\vec{EK}.$

Найдем координаты вектора $\vec{EK}.$ Для этого из координат конца вычтем координаты начала, получим:

$\vec{EK}=(3-(-1);-4-3)=(3+1;-4-3)=(4;-7).$

Воспользуемся формулой $\left | \vec{b} \right |=\sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}$ для нахождения длины вектора, получим:

$\left | \vec{EK} \right |=\sqrt {4^{2}+(-7)^{2}}$=$\sqrt {16+49}$=$\sqrt {65}$.

Пример 2

В пространстве заданы точки $C(1;2;3)$ и $D(3;4;5).$ Найти длину вектора $\vec{CD}.$

Найдем координаты вектора $\vec{CD}.$ Для этого из координат конца вычтем координаты начала, получим: $\vec{CD}=(3-1;4-2;5-3)=(2;2;2).$

Воспользуемся формулой $\left | \vec{b} \right |=\sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}$ для нахождения длины вектора, получим: $\left | \vec{b} \right |=\sqrt {2^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt {4+4+4}=\sqrt {12}=2\sqrt 3$.

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Для треугольника со сторонами $a, b, c$ и углами $\alpha, \beta$ и $\gamma,$ противолежащими этим сторонам соответственно, справедливы равенства:

$b=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot cos (\beta),$ $a=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot cos (\alpha),$ $c=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot cos (\gamma).$

Аналогично поступают и с векторами. Рассмотрим пример.

Пример 1

Длины векторов $\vec{KL}$ и $\vec{KM}$ равны соответственно 2 и 4, а угол между ними равен $\frac{\pi }{4}.$ Вычислите длину вектора $\vec{LM}.$

Длина вектора $\vec{LM}$ равна длине стороны $LM$ в треугольнике $LMK$. Также нам известны стороны $KL$ и $KM$ треугольника $LMK$. Они равны длинам соответствующих векторов. Нам известен угол между векторами. Найдем сторону $LM$ треугольника $\triangle KLM.$

$LM^2=KL^2+KM^2-2KL\cdot KM\cdot \cos \angle LKM.$
$LM^2=2^2+4^2-2\cdot 2\cdot4\cdot \cos \frac{\pi }{4}=4+16-8\sqrt{2}=20-8\sqrt{2}.$
$LM=\sqrt{20-8\sqrt{2}}.$
$|\vec{LM}|=\sqrt{20-8\sqrt{2}}.$

Не получается самостоятельно разобраться с темой? Заказать написание статьи по математике!

Тест по теме «Как вычислить длину вектора»