Как найти угол между двумя векторами

Нахождение угла между векторами с помощью скалярного произведения

Косинус угла между векторами $\vec{a}=(a_{1};a_{2})$ и $\vec{b}=(b_{1};b_{2})$ может быть вычислен по формуле

$\cos\left(\widehat{\vec{a},\vec{b}}\right)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}= \frac{a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\cdot\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}.$

Следовательно, угол между векторами $\vec{a}=(a_{1};a_{2})$ и $\vec{b}=(b_{1};b_{2})$ может быть вычислен по формуле

$\left(\widehat{\vec{a},\vec{b}}\right)=\arccos\left(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\right)=\arccos\left(\frac{a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\cdot\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right).$

Пример 1

Найти угол между векторами $\vec{a}=(1; -1)$ и $\vec{b}=(1; 2).$

$\cos\left(\widehat{\vec{a},\vec{b}}\right)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left | \vec{a} \right |\cdot \left | \vec{b} \right |}=\frac{1\cdot1+(-1)\cdot2}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}\cdot \sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\frac{1-2}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}}=\frac{-1}{\sqrt{10}}.$

$\left ( \widehat{\vec{a},\vec{b}} \right )=\arccos\left ( \frac{-1}{\sqrt{10}} \right )=\arccos\left ( \frac{-\sqrt{10}}{10} \right ).$

Ответ: $\left ( \widehat{\vec{a},\vec{b}} \right )=\arccos\left ( \frac{-\sqrt{10}}{10} \right).$

Пример 2

Найти угол между векторами $\vec{a}=(2; 3)$ и $\vec{b}=(3; 1).$

$\cos\left(\widehat{\vec{a},\vec{b}}\right)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left | \vec{a} \right |\cdot \left | \vec{b} \right |}=\frac{2\cdot3+3\cdot1}{\sqrt{2^{2}+3^{2}}\cdot \sqrt{3^{2}+1^{2}}}=\frac{6+3}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{10}}=\frac{9}{\sqrt{130}}=\frac{9\sqrt{130}}{130}.$

$\left ( \widehat{\vec{a},\vec{b}} \right )=\arccos\left ( \frac{9\sqrt{130}}{130} \right ).$

Ответ: $\left ( \widehat{\vec{a},\vec{b}} \right )=\arccos \left ( \frac{9\sqrt{130}}{130} \right ).$

Косинус угла между векторами $\vec{a}=(a_{1};a_{2};a_{3})$ и $\vec{b}=(b_{1};b_{2};b_{3})$ может быть вычислен по формуле

$\cos\left(\widehat{\vec{a},\vec{b}}\right)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}= \frac{a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+a_{3}\cdot b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\cdot\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}.$

Следовательно, угол между векторами $\vec{a}=(a_{1};a_{2};a_{3})$ и $\vec{b}=(b_{1};b_{2};b_{3})$ может быть вычислен по формуле

$\left(\widehat{\vec{a},\vec{b}}\right)=\arccos\left(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\right)=\arccos\left(\frac{a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+a_{3}\cdot b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+ a_{3}^{2}}\cdot\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+ b_{3}^{2}}}\right).$

Пример 3

Найти угол между векторами $\vec{a}=(1; 2; 3) и \vec{b}=(1; -2; 3).$

$\cos\left(\widehat{\vec{a},\vec{b}}\right)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left | \vec{a} \right |\cdot \left | \vec{b} \right |}=\frac{1\cdot1+2\cdot(-2)+3\cdot3}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}\cdot \sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}}=\frac{1-4+9}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}.$

$\left(\widehat{\vec{a},\vec{b}}\right)=\arccos\left ( \frac{3}{7} \right ).$

Ответ: $\left(\widehat{\vec{a},\vec{b}}\right)=\arccos\left ( \frac{3}{7} \right ).$

Пример 4

Найти угол между векторами $\vec{a}=(2; -1; -2)$ и $\vec{b}=(1; 3; -2).$

$\cos\left(\widehat{\vec{a},\vec{b}}\right)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left | \vec{a} \right |\cdot \left | \vec{b} \right |}=\frac{2\cdot1+(-1)\cdot3+(-2)\cdot(-2)}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}\cdot \sqrt{1^{2}+3^{2}+(-2)^{2}}}=\frac{2-3+4}{\sqrt{9}\cdot\sqrt{14}}=\frac{3}{3\cdot\sqrt{14}}=\frac{1}{\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{14}}{14}.$

$\left(\widehat{\vec{a},\vec{b}}\right)=\arccos\left ( \frac{\sqrt{14}}{14} \right ).$

Ответ: $\left(\widehat{\vec{a},\vec{b}}\right)=\arccos\left ( \frac{\sqrt{14}}{14} \right ).$

Нахождение угла между векторами с помощью векторного произведения

Синус угла между векторами можно вычислить по формуле: $\sin(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=\frac{\left | \vec{a}\times \vec{b} \right |}{\left | \vec{a} \right |\cdot\left | \vec{b} \right |}.$

Пример 1

Найти угол между векторами $\vec{a}=(2;-1;2)$ и $\vec{b}=(3;0;1).$

$\vec{a}\times \vec{b}=\begin{vmatrix}i&j&k\\2&-1&2\\3&0&1\end{vmatrix}=(-1-0)i-(2-6)j+(0+3)k=-i+4j+3k.$

$\left | \vec{a}\times \vec{b} \right |=\sqrt{(-1)^{2}+4^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+16+9}=\sqrt{26}.$

$\left | \vec{a} \right |=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.$

$\left | \vec{b} \right |=\sqrt{3^{2}+0^{2}+1^{2}}=\sqrt{9+0+1}=\sqrt{10}.$

$\sin(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=\frac{\sqrt{26}}{3\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{13}\sqrt{2}}{3\sqrt{2}\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{13}}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{65}}{15}.$

$(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=\arcsin\left ( \frac{\sqrt{65}}{15} \right ).$

Ответ: $(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=\arcsin\left ( \frac{\sqrt{65}}{15} \right ).$

Пример 2

Найти угол между векторами $\vec{a}=(1;1;3)$ и $\vec{b}=(0;1;1).$

$\vec{a}\times \vec{b}=\begin{vmatrix}i&j&k\\1&1&3\\0&1&1\end{vmatrix}=(1-3)i-(1-0)j+(1-0)k=-2i-j+k.$

$\left | \vec{a}\times \vec{b} \right |=\sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}.$

$\left | \vec{a} \right |=\sqrt{1^{2}+1^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+1+9}=\sqrt{11}.$

$\left | \vec{b} \right |=\sqrt{0^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{0+1+1}=\sqrt{2}.$

$\sin(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{11}\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{\sqrt{11}\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{33}}{11}.$

$(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=\arcsin\left ( \frac{\sqrt{33}}{11} \right ).$

Ответ: $(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=\arcsin\left ( \frac{\sqrt{33}}{11} \right ).$

На Студворк вы можете заказать статью по математике онлайн у профильных экспертов!

Тест по теме “Как найти угол между двумя векторами”