Мы уже рассмотрели, что такое вектор, сумма векторов, их разность, а также умножение вектора на число. Для решения различных задач необходимо уметь находить скалярное произведение векторов.
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов a⃗ и b⃗ называется число, которое равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначается скалярное произведение одним из следующих способов: a⃗⋅b⃗ или a⃗b⃗.
Запишем определение, представленное выше, следующим образом: a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos∠(a⃗;b⃗).
Пример 1
Найти скалярное произведение векторов a⃗ и b⃗,если∣a⃗∣=2,∣b⃗∣=4,∠(a⃗;b⃗)=π3.
Решение
Используем формулу a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos∠(a⃗;b⃗). Получим a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos∠(a⃗;b⃗)=2⋅4⋅cos(π3)=8⋅12=4.
Ответ: a⃗⋅b⃗=4.
Пример 2
Найти скалярное произведение векторов a⃗ и b⃗, если ∣a⃗∣=3,∣b⃗∣=7,∠(a⃗;b⃗)=135∘.
Решение
Используем формулу a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos∠(a⃗;b⃗). Получим a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos∠(a⃗;b⃗)=3⋅7⋅cos(135∘)=21⋅(−22)=−2122.
Ответ: a⃗⋅b⃗=−2122.
В примере 1 скалярное произведение получилось положительным числом, а во втором примере – отрицательным. Так как в формуле a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos∠(a⃗;b⃗) длины векторов являются положительными числами, то знак зависит от значения косинуса. Поэтому возможны два случая:
- Если угол между векторами острый (0<∠(a⃗;b⃗)<π2), то скалярное произведение будет положительным. В случае если векторы сонаправлены, то угол между ними =0, а значит скалярное произведение положительно.
- Если угол между векторами тупой (π2<∠(a⃗;b⃗)<pi), то скалярное произведение будет отрицательным. В случае если векторы противоположно направлены, то угол между ними =π, а значит скалярное произведение отрицательно.
- Если угол прямой ∠(a⃗;b⃗)=π2, то скалярное произведение равно нулю. В данном случае векторы перпендикулярны (ортогональны).
Скалярное произведение в координатах
Скалярным произведением векторов на плоскости или в пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов a⃗ и b⃗.
Для векторов a⃗=(a1;a2) и b⃗=(b1;b2), заданных на плоскости, скалярное произведение можно найти следующим образом: a⃗⋅b⃗=a1⋅b1+a2⋅b2.
Для векторов a⃗=(a1;a2;a3) и b⃗=(b1;b2;b3), заданных в пространстве, скалярное произведение можно найти следующим образом: a⃗⋅b⃗=a1⋅b1+a2⋅b2+a3⋅b3.
Пример 1
Найти скалярное произведение векторов a⃗=(3;−5) и b⃗=(2;4).
Решение
Подставим координаты векторов в формулу: a⃗⋅b⃗=a1⋅b1+a2⋅b2=3⋅2+(−5)⋅4=6−20=−14.
Ответ: a⃗⋅b⃗=−14.
Пример 2
Найти скалярное произведение векторов a⃗=(2;1;3) и b⃗=(1;0;2).
Решение
Подставим координаты векторов в формулу: a⃗⋅b⃗=a1⋅b1+a2⋅b2+a3⋅b3=2⋅1+1⋅0+3⋅2=2+0+6=8.
Ответ: a⃗⋅b⃗=8.
Статья по математике на заказ от проверенных исполнителей!
Комментарии