Processing math: 100%

Вычисление скалярного произведения векторов

Содержание

  1. 1. Скалярное произведение векторов
    1. 1.1. Пример 1
    2. 1.2. Пример 2
  2. 2. Скалярное произведение в координатах
    1. 2.1. Пример 1
    2. 2.2. Пример 2
    3. 2.3. Решение

Мы уже рассмотрели, что такое вектор, сумма векторов, их разность, а также умножение вектора на число. Для решения различных задач необходимо уметь находить скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов a и b называется число, которое равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается скалярное произведение одним из следующих способов: ab или ab.

Запишем определение, представленное выше, следующим образом: ab=abcos(a;b).

Пример 1

Найти скалярное произведение векторов a и b,еслиa=2,b=4,(a;b)=π3.

Решение

Используем формулу ab=abcos(a;b). Получим ab=abcos(a;b)=24cos(π3)=812=4.

Ответ: ab=4.

Пример 2

Найти скалярное произведение векторов a и b, если a=3,b=7,(a;b)=135.

Решение

Используем формулу ab=abcos(a;b). Получим ab=abcos(a;b)=37cos(135)=21(22)=2122.

Ответ: ab=2122.

В примере 1 скалярное произведение получилось положительным числом, а во втором примере – отрицательным. Так как в формуле ab=abcos(a;b) длины векторов являются положительными числами, то знак зависит от значения косинуса. Поэтому возможны два случая:

  1. Если угол между векторами острый (0<(a;b)<π2), то скалярное произведение будет положительным. В случае если векторы сонаправлены, то угол между ними =0, а значит скалярное произведение положительно.
  2. Если угол между векторами тупой (π2<(a;b)<pi), то скалярное произведение будет отрицательным. В случае если векторы противоположно направлены, то угол между ними =π, а значит скалярное произведение отрицательно.
  3. Если угол прямой (a;b)=π2, то скалярное произведение равно нулю. В данном случае векторы перпендикулярны (ортогональны).

Скалярное произведение в координатах

Скалярным произведением векторов на плоскости или в пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов a и b.

Для векторов a=(a1;a2) и b=(b1;b2), заданных на плоскости, скалярное произведение можно найти следующим образом: ab=a1b1+a2b2.

Для векторов a=(a1;a2;a3) и b=(b1;b2;b3), заданных в пространстве, скалярное произведение можно найти следующим образом: ab=a1b1+a2b2+a3b3.

Пример 1

Найти скалярное произведение векторов a=(3;5) и b=(2;4).

Решение

Подставим координаты векторов в формулу: ab=a1b1+a2b2=32+(5)4=620=14.

Ответ: ab=14.

Пример 2

Найти скалярное произведение векторов a=(2;1;3) и b=(1;0;2).

Решение

Подставим координаты векторов в формулу: ab=a1b1+a2b2+a3b3=21+10+32=2+0+6=8.

Ответ: ab=8.

Статья по математике на заказ от проверенных исполнителей!

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир
Ошибка при получении статей
×
Ошибка при получении статей
×