Вычисление скалярного произведения векторов

Мы уже рассмотрели, что такое вектор, сумма векторов, их разность, а также умножение вектора на число. Для решения различных задач необходимо уметь находить скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число, которое равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается скалярное произведение одним из следующих способов: $\vec{a}\cdot\vec{b}$ или $\vec{a}\vec{b}$.

Запишем определение, представленное выше, следующим образом: $\vec{a}\cdot\vec{b}=\left | \vec{a} \right |\cdot\left | \vec{b} \right |\cdot\cos\angle (\vec{a};\vec{b})$.

Пример 1

Найти скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}, если \left | \vec{a} \right |=2, \left | \vec{b} \right |=4, \angle (\vec{a};\vec{b})=\frac{\pi}{3}.$

Решение

Используем формулу $\vec{a}\cdot\vec{b}=\left | \vec{a} \right |\cdot\left | \vec{b} \right |\cdot\cos\angle (\vec{a};\vec{b}).$ Получим $\vec{a}\cdot\vec{b}=\left | \vec{a} \right |\cdot\left | \vec{b} \right |\cdot\cos\angle (\vec{a};\vec{b})=2\cdot4\cdot\cos\left ( \frac{\pi}{3} \right )=8\cdot\frac{1}{2}=4.$

Ответ: $\vec{a}\cdot\vec{b}=4.$

Пример 2

Найти скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $\left | \vec{a} \right |=3, \left | \vec{b} \right |=7, \angle (\vec{a};\vec{b})=135^{\circ}.$

Решение

Используем формулу $\vec{a}\cdot\vec{b}=\left | \vec{a} \right |\cdot\left | \vec{b} \right |\cdot\cos\angle (\vec{a};\vec{b}).$ Получим $\vec{a}\cdot\vec{b}=\left | \vec{a} \right |\cdot\left | \vec{b} \right |\cdot\cos\angle (\vec{a};\vec{b})=3\cdot7\cdot\cos\left ( 135^{\circ} \right )= 21\cdot\left ( \frac{-\sqrt{2}}{2} \right )=-\frac{21\sqrt{2}}{2}.$

Ответ: $\vec{a}\cdot\vec{b}=-\frac{21\sqrt{2}}{2}.$

В примере 1 скалярное произведение получилось положительным числом, а во втором примере – отрицательным. Так как в формуле $\vec{a}\cdot\vec{b}=\left | \vec{a} \right |\cdot\left | \vec{b} \right |\cdot\cos\angle (\vec{a};\vec{b})$ длины векторов являются положительными числами, то знак зависит от значения косинуса. Поэтому возможны два случая:

1. Если угол между векторами острый $(0< \angle (\vec{a};\vec{b})<\frac{\pi }{2})$, то скалярное произведение будет положительным. В случае если векторы сонаправлены, то угол между ними $=0$, а значит скалярное произведение положительно.
2. Если угол между векторами тупой $(\frac{\pi }{2}< \angle (\vec{a};\vec{b})<pi),$ то скалярное произведение будет отрицательным. В случае если векторы противоположно направлены, то угол между ними $=\pi,$ а значит скалярное произведение отрицательно.
3. Если угол прямой $\angle (\vec{a};\vec{b})=\frac{\pi }{2}$, то скалярное произведение равно нулю. В данном случае векторы перпендикулярны (ортогональны).

Скалярное произведение в координатах

Скалярным произведением векторов на плоскости или в пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Для векторов $\vec{a}=(a_{1};a_{2})$ и $\vec{b}=(b_{1};b_{2})$, заданных на плоскости, скалярное произведение можно найти следующим образом: $\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}.$

Для векторов $\vec{a}=(a_{1};a_{2}; a_{3})$ и $\vec{b}=(b_{1};b_{2}; b_{3}),$ заданных в пространстве, скалярное произведение можно найти следующим образом: $\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+ a_{3}\cdot b_{3}.$

Пример 1

Найти скалярное произведение векторов $\vec{a}=(3;-5)$ и $\vec{b}=(2;4).$

Решение

Подставим координаты векторов в формулу: $\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}=3\cdot2+(-5)\cdot4=6-20=-14.$

Ответ: $\vec{a}\cdot\vec{b}=-14.$

Пример 2

Найти скалярное произведение векторов $\vec{a}=(2;1;3)$ и $\vec{b}=(1;0;2).$

Решение

Подставим координаты векторов в формулу: $\vec{a}\cdot\vec{b}= a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+ a_{3}\cdot b_{3}=2\cdot 1+1\cdot 0+ 3\cdot 2=2+0+6=8.$

Ответ: $\vec{a}\cdot\vec{b}=8.$

Статья по математике на заказ от проверенных исполнителей!