Кроме складывания и вычитания векторов существует ещё одна, последняя линейная операция над векторами. Это умножение векторов на числа. Числа мы будем здесь рассматривать только действительные. При умножении вектора на число, в общем случае может изменится как длина, так и направление исходного вектора. Общее правило такое:
При умножении вектора на число получаем вектор . Длина этого вектора . Направление вектора совпадает с направлением вектора при , и противоположно вектору если .
Рассмотрим пару примеров.
.
Тогда . То есть, умножение любого вектора на число ноль дает нулевой вектор (о том, что это за вектор речь шла в статье Понятие вектора). Часто стрелочку над нулем не пишут и обозначают просто: .
.
Тогда . Умножение любого вектора на единицу никак не изменяет вектор .
.
Тогда . Умножение любого вектора на минус единицу меняет направление вектора на противоположное, но никак не влияет на длину вектора . То есть, эта операция ставит вектору в соответствие вектор .
.
Получаем: . Получим вектор, длина которого в три раза больше исходного. Так как , то направление вектора совпадает с направлением вектора .
.
Получаем . В результате, получим вектор, длина которого в десять раз меньше вектора . Поскольку , то направление вектора противоположно направлению вектора .
Рисунок здесь попробуйте нарисовать сами.
Для умножения векторов на числа имеют место следующие свойства:
Ассоциативность умножения вектора на число:
Дистрибутивность умножения вектора на число относительно сложения чисел:
Дистрибутивность умножения вектора на число относительно сложения векторов:
Может возникнуть вопрос, для чего нам вообще нужно умножать векторы на числа. Дело в том, что эта операция, вместе с двумя другими линейными операциями над векторами (сложение и вычитание) представляет собой возможность получать новые векторы из уже данных нам. Например, во втором законе Ньютона в векторной форме:
,
где
— масса тела;
— вектор ускорения тела;
— приложенный вектор силы к телу.
масса тела умножается на его ускорение . Вот вам и пример умножения вектора на число.
Не знаете, где заказать написание статьи по математике на заказ? Авторы Студворк к вашим услугам!
Комментарии