Как интегрировать по частям

Метод интегрирования по частям
Данный метод является одним из приемов вычисления $encoding="application/x-tex">\int f(x)dx</annotation></semantics></math>$ , основанный на применении следующей формулы:

$encoding="application/x-tex">\int udv=uv-\int vdu</annotation></semantics></math>$

где $u = u (x), v = v (x)$ .

Идея метода заключается в том, чтобы представить подынтегральное выражение $f (x) d x$ в виде $u d v$ , тем самым свести вычисление исходного интеграла к вычислению более простого $encoding="application/x-tex">\int vdu</annotation></semantics></math>$ .

Замечание 1

Чтобы найти $encoding="application/x-tex">\int vdu</annotation></semantics></math>$ , можно использовать любой метод интегрирования, в том числе и метод интегрирования по частям.

Возникает вопрос: какую часть исходного подынтегрального выражения $f (x) d x$ принять за $u$ , а какую – за $d v$ ? Разберем несколько стандартных случаев.

Типы интегралов и рекомендации

Типы интегралов, к которым применим метод интегрирования по частям и рекомендуемые приемы выбора частей.

Интегралы вида $encoding="application/x-tex">\int P(x)\cdot e^{kx}dx</annotation></semantics></math>$ , $encoding="application/x-tex">\int P(x)\cdot\sin (kx)dx</annotation></semantics></math>$ , $encoding="application/x-tex">\int P(x)\cdot \cos (kx)dx</annotation></semantics></math>$ , где $P (x)$ – многочлен, $k$ - число.

В данном случае удобно положить $u = P (x)$ , а за $d v$ обозначить все остальные сомножители.

Замечание 2

Такой тип интеграла вычисляется путем $n$ -кратного применения формулы ( $encoding="application/x-tex">\ ref {1}</annotation></semantics></math>$ ), где $n$ – степень многочлена $P (x)$ .

Пример 1

Вычислить интеграл:

$encoding="application/x-tex">\int (x+5)\cdot e^{2x}dx</annotation></semantics></math>$

Решение

Подынтегральное выражение содержит произведение многочлена первой степени ( $x + 1$ ) на показательную функцию ( $encoding="application/x-tex">e^{2x}</annotation></semantics></math>$ ). Согласно рекомендациям в качестве функции $u$ следует взять $(x + 5)$ , тогда $d v$ (все остальные сомножители) будет иметь вид: $encoding="application/x-tex">dv=e^{2x}dx</annotation></semantics></math>$ .

Для применения формулы ( $encoding="application/x-tex">\ ref{1}</annotation></semantics></math>$ ) осталось еще найти $d u$ и $v$ . Чтобы найти $d u$ , нужно $u$ продифференцировать по $x$ (найти её производную):
$d u = d (x + 5) = d x$ .

Чтобы найти $v$ , нужно $d v$ проинтегрировать:

$encoding="application/x-tex">v=\int e^{2x}dx=\dfrac{e^{2x}}{2}</annotation></semantics></math>$ .

Замечание 3

При нахождении $v$ константу $C$ считают равной нулю.

Переходим к вычислению исходного интеграла, используя метод интегрирования по частям ( $encoding="application/x-tex">\ ref{1}</annotation></semantics></math>$ ):

$encoding="application/x-tex">\int (x+5)\cdot e^{2x}dx=\begin{bmatrix} u=x+5, & du=dx,\\ dv=e^{2x}dx,& v=\dfrac{e^{2x}}{2}. \end{bmatrix} =\\ \\ \\ =(x+5)\cdot \dfrac{e^{2x}}{2}-\int \dfrac{e^{2x}dx}{2}=(x+5)\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}-\dfrac{e^{2x}}{4}+C =\dfrac{e^{2x}}{4}\cdot (2x+9)+C</annotation></semantics></math>$ .

Ответ: $encoding="application/x-tex">\int (x+5)\cdot e^{2x}dx=\dfrac{e^{2x}}{4}\cdot (2x+9)+C.</annotation></semantics></math>$

Интегралы вида $encoding="application/x-tex">\int P(x)\cdot \arcsin (kx)dx</annotation></semantics></math>$ , $encoding="application/x-tex">\int P(x)\cdot \arccos (kx)dx</annotation></semantics></math>$ , $encoding="application/x-tex">\int P(x)\cdot \text{arctg\,}(kx)dx</annotation></semantics></math>$ , $encoding="application/x-tex">\int P(x)\cdot \text{arcctg\,}(kx)dx</annotation></semantics></math>$ , $encoding="application/x-tex">\int P(x)\cdot \ln (kx)dx</annotation></semantics></math>$ , где $P (x)$ – многочлен, $k$ – число.

В данном случае удобно положить $d v = P (x) d x$ , а за $u$ обозначить все остальные сомножители.

Пример 2

Вычислить интеграл:
$encoding="application/x-tex">\int x\cdot\ln xdx.</annotation></semantics></math>$

Решение
Подынтегральное выражение содержит произведение многочлена первой степени ( $x$ ) на логарифм ( $encoding="application/x-tex">\ln x</annotation></semantics></math>$ ). Согласно рекомендациям в качестве $d v$ следует взять $x d x$ , тогда $u$ (все остальные сомножители) будет иметь вид: $encoding="application/x-tex">u=\ln x</annotation></semantics></math>$ . Теперь найдем $d u$ и $v$ :

$encoding="application/x-tex">du=d(\ln x)=\dfrac{dx}{x},</annotation></semantics></math>$

$encoding="application/x-tex">v(x)=\int xdx=\dfrac{x^2}{2}</annotation></semantics></math>$ .

$encoding="application/x-tex">\int x\ln xdx = \begin{bmatrix} u=\ln x, & du=\dfrac{dx}{x},\\ dv=xdx, & v=\dfrac{x^2}{2}. \end{bmatrix}= \\ \\ \\ = \ln x\cdot \dfrac{x^2}{2}-\int \frac{x^2dx}{2x}=\ln x\cdot \dfrac{x^2}{2}-\int \frac{xdx}{2}=\\ \\ \\ =\ln x\cdot \dfrac{x^2}{2}-\frac{x^2}{4}+C=\dfrac{x^2\cdot (2\ln x-1)}{4}+C.</annotation></semantics></math>$

Ответ: $encoding="application/x-tex">\int x\cdot\ln xdx=\dfrac{x^2\cdot (2\ln x-1)}{4}+C.</annotation></semantics></math>$

Интегралы вида $encoding="application/x-tex">\int e^{kx}\cdot \sin (mx)dx</annotation></semantics></math>$ , $encoding="application/x-tex">\int e^{kx}\cdot \cos (mx)dx</annotation></semantics></math>$ , где $k$ и $m$ – числа.

Для применения формулы ( $encoding="application/x-tex">\ ref{1}</annotation></semantics></math>$ ) в качестве $u$ можно выбрать любую из функций (показательную или тригонометрическую), а за $d v$ обозначить все остальные сомножители.

Пример 3

Вычислить интеграл:

$encoding="application/x-tex">\int e^x\cdot\cos xdx</annotation></semantics></math>$

Решение

Подынтегральное выражение содержит произведение показательной ( $encoding="application/x-tex">e^x</annotation></semantics></math>$ ) на триго-нометрическую ( $encoding="application/x-tex">\cos x</annotation></semantics></math>$ ) функцию. Согласно рекомендациям в качестве $u$ можно принять $encoding="application/x-tex">e^x</annotation></semantics></math>$ , следовательно, $encoding="application/x-tex">dv=\cos xdx</annotation></semantics></math>$ . Теперь найдем $d u$ и $v$ :

$encoding="application/x-tex">du=d(e^x)=e^xdx</annotation></semantics></math>$ ,

$encoding="application/x-tex">v=\int\cos xdx = \sin x</annotation></semantics></math>$ .

$encoding="application/x-tex">\int e^x\cdot\cos xdx=\begin{bmatrix} u=e^x, & du=e^xdx,\\ dv=\cos xdx, & v=\sin x. \end{bmatrix}=\\ \\ =e^x\cdot\sin x-\int\sin x\cdot e^x dx=(*)</annotation></semantics></math>$

Полученный интеграл также соответствует III типу интегралов. Для его для вычисле-ния повторно применяем метод интегрирования по частям.

$encoding="application/x-tex">(*)=\begin{bmatrix} u=e^x, & du=e^xdx,\\ dv=\sin xdx,& v=-\cos x \end{bmatrix}=\\ \\ \\ =e^x\sin x-\bigg( e^x\cdot (-\cos x)-\int e^x\cdot(- \cos x)dx\bigg)=\\ \\ \\ =e^x(\sin x+\cos x)-\int e^x\cdot\cos xdx.</annotation></semantics></math>$

Важно!

В результате проделанных преобразований в правой части получили исходный интеграл.

$encoding="application/x-tex">\int e^x\cdot\cos xdx=e^x(\sin x+\cos x)-\int e^x\cdot\cos x dx</annotation></semantics></math>$ .

Решаем данное равенство относительно неизвестного интеграла. Для этого приводим подобные слагаемые (переносим интеграл из правой части в левую часть):

$encoding="application/x-tex">2\cdot\int e^x\cdot\cos xdx=e^x(\sin x+\cos x)</annotation></semantics></math>$

или

$encoding="application/x-tex">\int e^x\cdot\cos xdx=\dfrac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}</annotation></semantics></math>$ .

Ответ: $encoding="application/x-tex">\int e^x\cdot\cos xdx=\dfrac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}</annotation></semantics></math>$ .

Рассмотрены только частные способы выбора $u$ и $d v$ для применения метода интегрирования по частям. В других случаях они определяются путем проб и ошибок.

Вы можете заказать написание статьи по математике для публикации на Студворк!

Тест по теме «Метод интегрирования по частям»

Тест: 3 вопроса

1. К методам интегрирования относятся:

метод Гаусса

дифференцирование

интегрирование по частям

2. Cуществует дифференцируемая функция u и имеющая первообразную функция v, такие, что u'v не имеет ______.

интеграла

первообразной

производной

3. Функция F(х) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке X, если…

хотя бы в одной точке х этого промежутка F '(x) = f(x)

если в каждой точке х этого промежутка F '(x) = f(x)

хотя бы в одной точке х этого промежутка f '(x) = F(x)

если в каждой точке х этого промежутка f '(x) = F(x)

Метод интегрирования по частям

Типы интегралов и рекомендации

Тест по теме «Метод интегрирования по частям»

Комментарии
0

Предыдущая статья

Следующая статья

Интересные статьи за сегодня

Метод интегрирования по частям

Типы интегралов и рекомендации

Тест по теме «Метод интегрирования по частям»

Комментарии 0

Предыдущая статья

Следующая статья

Интересные статьи за сегодня

Комментарии
0