Метод интегрирования по частям
Данный метод является одним из приемов вычисления ∫f(x)dx, основанный на применении следующей формулы:
∫udv=uv−∫vdu
где u=u(x),v=v(x).
Идея метода заключается в том, чтобы представить подынтегральное выражение f(x)dx в виде udv, тем самым свести вычисление исходного интеграла к вычислению более простого ∫vdu.
Замечание 1
Чтобы найти ∫vdu, можно использовать любой метод интегрирования, в том числе и метод интегрирования по частям.
Возникает вопрос: какую часть исходного подынтегрального выражения f(x)dx принять за u, а какую – за dv? Разберем несколько стандартных случаев.
Типы интегралов и рекомендации
Типы интегралов, к которым применим метод интегрирования по частям и рекомендуемые приемы выбора частей.
Интегралы вида ∫P(x)⋅ekxdx, ∫P(x)⋅sin(kx)dx, ∫P(x)⋅cos(kx)dx, где P(x) – многочлен, k - число.
В данном случае удобно положить u=P(x), а за dv обозначить все остальные сомножители.
Замечание 2
Такой тип интеграла вычисляется путем n-кратного применения формулы (ref1), где n – степень многочлена P(x).
Пример 1
Вычислить интеграл:
∫(x+5)⋅e2xdx
Решение
Подынтегральное выражение содержит произведение многочлена первой степени (x+1) на показательную функцию (e2x). Согласно рекомендациям в качестве функции u следует взять (x+5), тогда dv (все остальные сомножители) будет иметь вид: dv=e2xdx.
Для применения формулы (ref1) осталось еще найти du и v. Чтобы найти du, нужно u продифференцировать по x (найти её производную): du=d(x+5)=dx.
Чтобы найти v, нужно dv проинтегрировать:
v=∫e2xdx=2e2x.
Замечание 3
При нахождении v константу C считают равной нулю.
Переходим к вычислению исходного интеграла, используя метод интегрирования по частям (ref1):
Интегралы вида ∫P(x)⋅arcsin(kx)dx, ∫P(x)⋅arccos(kx)dx, ∫P(x)⋅arctg(kx)dx, ∫P(x)⋅arcctg(kx)dx, ∫P(x)⋅ln(kx)dx, где P(x) – многочлен, k – число.
В данном случае удобно положить dv=P(x)dx, а за u обозначить все остальные сомножители.
Пример 2
Вычислить интеграл: ∫x⋅lnxdx.
Решение
Подынтегральное выражение содержит произведение многочлена первой степени (x) на логарифм (lnx). Согласно рекомендациям в качестве dv следует взять xdx, тогда u (все остальные сомножители) будет иметь вид: u=lnx. Теперь найдем du и v:
du=d(lnx)=xdx,
v(x)=∫xdx=2x2.
Переходим к вычислению исходного интеграла, используя метод интегрирования по частям (ref1):
Интегралы вида ∫ekx⋅sin(mx)dx, ∫ekx⋅cos(mx)dx, где k и m – числа.
Для применения формулы (ref1) в качестве u можно выбрать любую из функций (показательную или тригонометрическую), а за dv обозначить все остальные сомножители.
Пример 3
Вычислить интеграл:
∫ex⋅cosxdx
Решение
Подынтегральное выражение содержит произведение показательной (ex) на триго-нометрическую (cosx) функцию. Согласно рекомендациям в качестве u можно принять ex, следовательно, dv=cosxdx. Теперь найдем du и v:
du=d(ex)=exdx,
v=∫cosxdx=sinx.
Переходим к вычислению исходного интеграла, используя метод интегрирования по частям (ref1):
В результате проделанных преобразований в правой части получили исходный интеграл.
∫ex⋅cosxdx=ex(sinx+cosx)−∫ex⋅cosxdx.
Решаем данное равенство относительно неизвестного интеграла. Для этого приводим подобные слагаемые (переносим интеграл из правой части в левую часть):
2⋅∫ex⋅cosxdx=ex(sinx+cosx)
или
∫ex⋅cosxdx=2ex(sinx+cosx).
Ответ:∫ex⋅cosxdx=2ex(sinx+cosx).
Рассмотрены только частные способы выбора u и dv для применения метода интегрирования по частям. В других случаях они определяются путем проб и ошибок.
Комментарии