Метод интегрирования по частям

Содержание

  1. 1. Типы интегралов и рекомендации
  2. 2. Тест по теме «Метод интегрирования по частям»

Метод интегрирования по частям
Данный метод является одним из приемов вычисления f(x)dx \int f(x)dx, основанный на применении следующей формулы:

udv=uvvdu \int udv=uv-\int vdu

где u=u(x),v=v(x) u=u(x), v=v(x).

Идея метода заключается в том, чтобы представить подынтегральное выражение f(x)dx f(x)dx в виде udv udv, тем самым свести вычисление исходного интеграла к вычислению более простого vdu \int vdu.

Замечание 1

Чтобы найти vdu \int vdu, можно использовать любой метод интегрирования, в том числе и метод интегрирования по частям.

Возникает вопрос: какую часть исходного подынтегрального выражения f(x)dx f(x)dx принять за u u, а какую – за dv dv? Разберем несколько стандартных случаев.

Типы интегралов и рекомендации

Типы интегралов, к которым применим метод интегрирования по частям и рекомендуемые приемы выбора частей.

  1. Интегралы вида P(x)ekxdx \int P(x)\cdot e^{kx}dx, P(x)sin(kx)dx \int P(x)\cdot\sin (kx)dx, P(x)cos(kx)dx \int P(x)\cdot \cos (kx)dx, где P(x) P(x) – многочлен, k k - число.

В данном случае удобно положить u=P(x) u=P(x), а за dv dv обозначить все остальные сомножители.

Замечание 2

Такой тип интеграла вычисляется путем n n-кратного применения формулы (ref1 \ ref {1}), где n n – степень многочлена P(x) P(x).

Пример 1

Вычислить интеграл:

(x+5)e2xdx \int (x+5)\cdot e^{2x}dx

Решение

Подынтегральное выражение содержит произведение многочлена первой степени (x+1 x+1) на показательную функцию (e2x e^{2x}). Согласно рекомендациям в качестве функции u u следует взять (x+5) (x+5), тогда dv dv (все остальные сомножители) будет иметь вид: dv=e2xdx dv=e^{2x}dx.

Для применения формулы (ref1 \ ref{1}) осталось еще найти du du и v v. Чтобы найти du du, нужно u u продифференцировать по x x (найти её производную):
du=d(x+5)=dx du=d(x+5)=dx.

Чтобы найти v v, нужно dv dv проинтегрировать:

v=e2xdx=e2x2 v=\int e^{2x}dx=\dfrac{e^{2x}}{2}.

Замечание 3

При нахождении v v константу C C считают равной нулю.

Переходим к вычислению исходного интеграла, используя метод интегрирования по частям (ref1 \ ref{1}):

(x+5)e2xdx=[u=x+5,du=dx,dv=e2xdx,v=e2x2.]==(x+5)e2x2e2xdx2=(x+5)e2x2e2x4+C=e2x4(2x+9)+C \int (x+5)\cdot e^{2x}dx=\begin{bmatrix}u=x+5, & du=dx,\\ dv=e^{2x}dx,& v=\dfrac{e^{2x}}{2}.\end{bmatrix} =\\ \\ \\=(x+5)\cdot \dfrac{e^{2x}}{2}-\int \dfrac{e^{2x}dx}{2}=(x+5)\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}-\dfrac{e^{2x}}{4}+C =\dfrac{e^{2x}}{4}\cdot (2x+9)+C.

Ответ: (x+5)e2xdx=e2x4(2x+9)+C. \int (x+5)\cdot e^{2x}dx=\dfrac{e^{2x}}{4}\cdot (2x+9)+C.

  1. Интегралы вида P(x)arcsin(kx)dx \int P(x)\cdot \arcsin (kx)dx, P(x)arccos(kx)dx \int P(x)\cdot \arccos (kx)dx, Unexpected text node: 'arctg ', Unexpected text node: 'arcctg ', P(x)ln(kx)dx \int P(x)\cdot \ln (kx)dx, где P(x) P(x) – многочлен, k k – число.

В данном случае удобно положить dv=P(x)dx dv=P(x)dx, а за u u обозначить все остальные сомножители.

Пример 2

Вычислить интеграл:
xlnxdx. \int x\cdot\ln xdx.

Решение
Подынтегральное выражение содержит произведение многочлена первой степени (x x) на логарифм (lnx \ln x). Согласно рекомендациям в качестве dv dv следует взять xdx xdx, тогда u u (все остальные сомножители) будет иметь вид: u=lnx u=\ln x. Теперь найдем du du и v v:

du=d(lnx)=dxx, du=d(\ln x)=\dfrac{dx}{x},

v(x)=xdx=x22 v(x)=\int xdx=\dfrac{x^2}{2}.

Переходим к вычислению исходного интеграла, используя метод интегрирования по частям (ref1 \ ref{1}):

xlnxdx=[u=lnx,du=dxx,dv=xdx,v=x22.]==lnxx22x2dx2x=lnxx22xdx2==lnxx22x24+C=x2(2lnx1)4+C. \int x\ln xdx = \begin{bmatrix}u=\ln x, & du=\dfrac{dx}{x},\\ dv=xdx, & v=\dfrac{x^2}{2}.\end{bmatrix}= \\ \\ \\ =\ln x\cdot \dfrac{x^2}{2}-\int \frac{x^2dx}{2x}=\ln x\cdot \dfrac{x^2}{2}-\int \frac{xdx}{2}=\\ \\ \\ =\ln x\cdot \dfrac{x^2}{2}-\frac{x^2}{4}+C=\dfrac{x^2\cdot (2\ln x-1)}{4}+C.

Ответ: xlnxdx=x2(2lnx1)4+C. \int x\cdot\ln xdx=\dfrac{x^2\cdot (2\ln x-1)}{4}+C.

  1. Интегралы вида ekxsin(mx)dx \int e^{kx}\cdot \sin (mx)dx, ekxcos(mx)dx \int e^{kx}\cdot \cos (mx)dx, где k k и m m – числа.

Для применения формулы (ref1 \ ref{1}) в качестве u u можно выбрать любую из функций (показательную или тригонометрическую), а за dv dv обозначить все остальные сомножители.

Пример 3

Вычислить интеграл:

excosxdx \int e^x\cdot\cos xdx

Решение

Подынтегральное выражение содержит произведение показательной (ex e^x) на триго-нометрическую (cosx \cos x) функцию. Согласно рекомендациям в качестве u u можно принять ex e^x, следовательно, dv=cosxdx dv=\cos xdx. Теперь найдем du du и v v:

du=d(ex)=exdx du=d(e^x)=e^xdx,

v=cosxdx=sinx v=\int\cos xdx = \sin x.

Переходим к вычислению исходного интеграла, используя метод интегрирования по частям (ref1 \ ref{1}):

excosxdx=[u=ex,du=exdx,dv=cosxdx,v=sinx.]==exsinxsinxexdx=() \int e^x\cdot\cos xdx=\begin{bmatrix}u=e^x, & du=e^xdx,\\ dv=\cos xdx, & v=\sin x.\end{bmatrix}=\\ \\ =e^x\cdot\sin x-\int\sin x\cdot e^x dx=(*)

Полученный интеграл также соответствует III типу интегралов. Для его для вычисле-ния повторно применяем метод интегрирования по частям.

()=[u=ex,du=exdx,dv=sinxdx,v=cosx]==exsinx(ex(cosx)ex(cosx)dx)==ex(sinx+cosx)excosxdx. (*)=\begin{bmatrix}u=e^x, & du=e^xdx,\\ dv=\sin xdx,& v=-\cos x\end{bmatrix}=\\ \\ \\ =e^x\sin x-\bigg( e^x\cdot (-\cos x)-\int e^x\cdot(- \cos x)dx\bigg)=\\ \\ \\ =e^x(\sin x+\cos x)-\int e^x\cdot\cos xdx.

Важно!

В результате проделанных преобразований в правой части получили исходный интеграл.

excosxdx=ex(sinx+cosx)excosxdx \int e^x\cdot\cos xdx=e^x(\sin x+\cos x)-\int e^x\cdot\cos x dx.

Решаем данное равенство относительно неизвестного интеграла. Для этого приводим подобные слагаемые (переносим интеграл из правой части в левую часть):

2excosxdx=ex(sinx+cosx) 2\cdot\int e^x\cdot\cos xdx=e^x(\sin x+\cos x)

или

excosxdx=ex(sinx+cosx)2 \int e^x\cdot\cos xdx=\dfrac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}.

Ответ: excosxdx=ex(sinx+cosx)2 \int e^x\cdot\cos xdx=\dfrac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}.

Рассмотрены только частные способы выбора u u и dv dv для применения метода интегрирования по частям. В других случаях они определяются путем проб и ошибок.

Тест по теме «Метод интегрирования по частям»

Тест: 3 вопроса
1. К методам интегрирования относятся:
метод Гаусса
дифференцирование
интегрирование по частям
2. Cуществует дифференцируемая функция u и имеющая первообразную функция v, такие, что u'v не имеет ______.
интеграла
первообразной
производной
3. Функция F(х) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке X, если…
хотя бы в одной точке х этого промежутка F '(x) = f(x)
если в каждой точке х этого промежутка F '(x) = f(x)
хотя бы в одной точке х этого промежутка f '(x) = F(x)
если в каждой точке х этого промежутка f '(x) = F(x)

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир
Ошибка при получении статей
×