Как интегрировать по частям

Метод интегрирования по частям
Данный метод является одним из приемов вычисления $\int f(x)dx$ , основанный на применении следующей формулы:

$\int udv=uv-\int vdu$

где $u=u(x), v=v(x)$ .

Идея метода заключается в том, чтобы представить подынтегральное выражение $f(x)dx$ в виде $udv$ , тем самым свести вычисление исходного интеграла к вычислению более простого $\int vdu$ .

Замечание 1

Чтобы найти $\int vdu$ , можно использовать любой метод интегрирования, в том числе и метод интегрирования по частям.

Возникает вопрос: какую часть исходного подынтегрального выражения $f(x)dx$ принять за $u$ , а какую – за $dv$ ? Разберем несколько стандартных случаев.

Типы интегралов и рекомендации

Типы интегралов, к которым применим метод интегрирования по частям и рекомендуемые приемы выбора частей.

Интегралы вида $\int P(x)\cdot e^{kx}dx$ , $\int P(x)\cdot\sin (kx)dx$ , $\int P(x)\cdot \cos (kx)dx$ , где $P(x)$ – многочлен, $k$ - число.

В данном случае удобно положить $u=P(x)$ , а за $dv$ обозначить все остальные сомножители.

Замечание 2

Такой тип интеграла вычисляется путем $n$ -кратного применения формулы ( $\ ref {1}$ ), где $n$ – степень многочлена $P(x)$ .

Пример 1

Вычислить интеграл:

$\int (x+5)\cdot e^{2x}dx$

Решение

Подынтегральное выражение содержит произведение многочлена первой степени ( $x+1$ ) на показательную функцию ( $e^{2x}$ ). Согласно рекомендациям в качестве функции $u$ следует взять $(x+5)$ , тогда $dv$ (все остальные сомножители) будет иметь вид: $dv=e^{2x}dx$ .

Для применения формулы ( $\ ref{1}$ ) осталось еще найти $du$ и $v$ . Чтобы найти $du$ , нужно $u$ продифференцировать по $x$ (найти её производную):
$du=d(x+5)=dx$ .

Чтобы найти $v$ , нужно $dv$ проинтегрировать:

$v=\int e^{2x}dx=\dfrac{e^{2x}}{2}$ .

Замечание 3

При нахождении $v$ константу $C$ считают равной нулю.

Переходим к вычислению исходного интеграла, используя метод интегрирования по частям ( $\ ref{1}$ ):

$\int (x+5)\cdot e^{2x}dx=\begin{bmatrix} u=x+5, & du=dx,\\ dv=e^{2x}dx,& v=\dfrac{e^{2x}}{2}. \end{bmatrix} =\\ \\ \\ =(x+5)\cdot \dfrac{e^{2x}}{2}-\int \dfrac{e^{2x}dx}{2}=(x+5)\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}-\dfrac{e^{2x}}{4}+C =\dfrac{e^{2x}}{4}\cdot (2x+9)+C$ .

Ответ: $\int (x+5)\cdot e^{2x}dx=\dfrac{e^{2x}}{4}\cdot (2x+9)+C.$

Интегралы вида $\int P(x)\cdot \arcsin (kx)dx$ , $\int P(x)\cdot \arccos (kx)dx$ , $\int P(x)\cdot \text{arctg\,}(kx)dx$ , $\int P(x)\cdot \text{arcctg\,}(kx)dx$ , $\int P(x)\cdot \ln (kx)dx$ , где $P(x)$ – многочлен, $k$ – число.

В данном случае удобно положить $dv=P(x)dx$ , а за $u$ обозначить все остальные сомножители.

Пример 2

Вычислить интеграл:
$\int x\cdot\ln xdx.$

Решение
Подынтегральное выражение содержит произведение многочлена первой степени ( $x$ ) на логарифм ( $\ln x$ ). Согласно рекомендациям в качестве $dv$ следует взять $xdx$ , тогда $u$ (все остальные сомножители) будет иметь вид: $u=\ln x$ . Теперь найдем $du$ и $v$ :

$du=d(\ln x)=\dfrac{dx}{x},$

$v(x)=\int xdx=\dfrac{x^2}{2}$ .

Переходим к вычислению исходного интеграла, используя метод интегрирования по частям ( $\ ref{1}$ ):

$\int x\ln xdx = \begin{bmatrix} u=\ln x, & du=\dfrac{dx}{x},\\ dv=xdx, & v=\dfrac{x^2}{2}. \end{bmatrix}= \\ \\ \\ = \ln x\cdot \dfrac{x^2}{2}-\int \frac{x^2dx}{2x}=\ln x\cdot \dfrac{x^2}{2}-\int \frac{xdx}{2}=\\ \\ \\ =\ln x\cdot \dfrac{x^2}{2}-\frac{x^2}{4}+C=\dfrac{x^2\cdot (2\ln x-1)}{4}+C.$

Ответ: $\int x\cdot\ln xdx=\dfrac{x^2\cdot (2\ln x-1)}{4}+C.$

Интегралы вида $\int e^{kx}\cdot \sin (mx)dx$ , $\int e^{kx}\cdot \cos (mx)dx$ , где $k$ и $m$ – числа.

Для применения формулы ( $\ ref{1}$ ) в качестве $u$ можно выбрать любую из функций (показательную или тригонометрическую), а за $dv$ обозначить все остальные сомножители.

Пример 3

Вычислить интеграл:

$\int e^x\cdot\cos xdx$

Решение

Подынтегральное выражение содержит произведение показательной ( $e^x$ ) на триго-нометрическую ( $\cos x$ ) функцию. Согласно рекомендациям в качестве $u$ можно принять $e^x$ , следовательно, $dv=\cos xdx$ . Теперь найдем $du$ и $v$ :

$du=d(e^x)=e^xdx$ ,

$v=\int\cos xdx = \sin x$ .

Переходим к вычислению исходного интеграла, используя метод интегрирования по частям ( $\ ref{1}$ ):

$\int e^x\cdot\cos xdx=\begin{bmatrix} u=e^x, & du=e^xdx,\\ dv=\cos xdx, & v=\sin x. \end{bmatrix}=\\ \\ =e^x\cdot\sin x-\int\sin x\cdot e^x dx=(*)$

Полученный интеграл также соответствует III типу интегралов. Для его для вычисле-ния повторно применяем метод интегрирования по частям.

$(*)=\begin{bmatrix} u=e^x, & du=e^xdx,\\ dv=\sin xdx,& v=-\cos x \end{bmatrix}=\\ \\ \\ =e^x\sin x-\bigg( e^x\cdot (-\cos x)-\int e^x\cdot(- \cos x)dx\bigg)=\\ \\ \\ =e^x(\sin x+\cos x)-\int e^x\cdot\cos xdx.$

Важно!

В результате проделанных преобразований в правой части получили исходный интеграл.

$\int e^x\cdot\cos xdx=e^x(\sin x+\cos x)-\int e^x\cdot\cos x dx$ .

Решаем данное равенство относительно неизвестного интеграла. Для этого приводим подобные слагаемые (переносим интеграл из правой части в левую часть):

$2\cdot\int e^x\cdot\cos xdx=e^x(\sin x+\cos x)$

или

$\int e^x\cdot\cos xdx=\dfrac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}$ .

Ответ: $\int e^x\cdot\cos xdx=\dfrac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}$ .

Рассмотрены только частные способы выбора $u$ и $dv$ для применения метода интегрирования по частям. В других случаях они определяются путем проб и ошибок.

Вы можете заказать написание статьи по математике для публикации на Студворк!

Тест по теме «Метод интегрирования по частям»

Тест: 3 вопроса

1. К методам интегрирования относятся:

метод Гаусса

дифференцирование

интегрирование по частям

2. Cуществует дифференцируемая функция u и имеющая первообразную функция v, такие, что u'v не имеет ______.

интеграла

первообразной

производной

3. Функция F(х) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке X, если…

хотя бы в одной точке х этого промежутка F '(x) = f(x)

если в каждой точке х этого промежутка F '(x) = f(x)

хотя бы в одной точке х этого промежутка f '(x) = F(x)

если в каждой точке х этого промежутка f '(x) = F(x)

Метод интегрирования по частям

Типы интегралов и рекомендации

Тест по теме «Метод интегрирования по частям»

Комментарии
0

Предыдущая статья

Следующая статья

Интересные статьи за сегодня

Метод интегрирования по частям

Типы интегралов и рекомендации

Тест по теме «Метод интегрирования по частям»

Комментарии 0

Предыдущая статья

Следующая статья

Интересные статьи за сегодня

Комментарии
0