Метод интегрирования по частям

Содержание

  1. 1. Типы интегралов и рекомендации
  2. 2. Тест по теме «Метод интегрирования по частям»

Метод интегрирования по частям
Данный метод является одним из приемов вычисления f(x)dxf(x)dx, основанный на применении следующей формулы:

udv=uvvduudv=uvvdu

где u=u(x),v=v(x)u=u(x),v=v(x).

Идея метода заключается в том, чтобы представить подынтегральное выражение f(x)dxf(x)dx в виде udvudv, тем самым свести вычисление исходного интеграла к вычислению более простого vduvdu.

Замечание 1

Чтобы найти vduvdu, можно использовать любой метод интегрирования, в том числе и метод интегрирования по частям.

Возникает вопрос: какую часть исходного подынтегрального выражения f(x)dxf(x)dx принять за uu, а какую – за dvdv? Разберем несколько стандартных случаев.

Типы интегралов и рекомендации

Типы интегралов, к которым применим метод интегрирования по частям и рекомендуемые приемы выбора частей.

  1. Интегралы вида P(x)ekxdxP(x)ekxdx, P(x)sin(kx)dxP(x)sin(kx)dx, P(x)cos(kx)dxP(x)cos(kx)dx, где P(x)P(x) – многочлен, kk - число.

В данном случае удобно положить u=P(x)u=P(x), а за dvdv обозначить все остальные сомножители.

Замечание 2

Такой тип интеграла вычисляется путем nn-кратного применения формулы (ref1ref1), где nn – степень многочлена P(x)P(x).

Пример 1

Вычислить интеграл:

(x+5)e2xdx(x+5)e2xdx

Решение

Подынтегральное выражение содержит произведение многочлена первой степени (x+1x+1) на показательную функцию (e2xe2x). Согласно рекомендациям в качестве функции uu следует взять (x+5)(x+5), тогда dvdv (все остальные сомножители) будет иметь вид: dv=e2xdxdv=e2xdx.

Для применения формулы (ref1ref1) осталось еще найти dudu и vv. Чтобы найти dudu, нужно uu продифференцировать по xx (найти её производную):
du=d(x+5)=dxdu=d(x+5)=dx.

Чтобы найти vv, нужно dvdv проинтегрировать:

v=e2xdx=e2x2v=e2xdx=e2x2.

Замечание 3

При нахождении vv константу CC считают равной нулю.

Переходим к вычислению исходного интеграла, используя метод интегрирования по частям (ref1ref1):

(x+5)e2xdx=[u=x+5,du=dx,dv=e2xdx,v=e2x2.]==(x+5)e2x2e2xdx2=(x+5)e2x2e2x4+C=e2x4(2x+9)+C(x+5)e2xdx=[u=x+5,du=dx,dv=e2xdx,v=e2x2.]==(x+5)e2x2e2xdx2=(x+5)e2x2e2x4+C=e2x4(2x+9)+C.

Ответ: (x+5)e2xdx=e2x4(2x+9)+C.(x+5)e2xdx=e2x4(2x+9)+C.

  1. Интегралы вида P(x)arcsin(kx)dxP(x)arcsin(kx)dx, P(x)arccos(kx)dxP(x)arccos(kx)dx, Unexpected text node: 'arctg 'Unexpected text node: 'arctg ', Unexpected text node: 'arcctg 'Unexpected text node: 'arcctg ', P(x)ln(kx)dxP(x)ln(kx)dx, где P(x)P(x) – многочлен, kk – число.

В данном случае удобно положить dv=P(x)dxdv=P(x)dx, а за uu обозначить все остальные сомножители.

Пример 2

Вычислить интеграл:
xlnxdx.xlnxdx.

Решение
Подынтегральное выражение содержит произведение многочлена первой степени (xx) на логарифм (lnxlnx). Согласно рекомендациям в качестве dvdv следует взять xdxxdx, тогда uu (все остальные сомножители) будет иметь вид: u=lnxu=lnx. Теперь найдем dudu и vv:

du=d(lnx)=dxx,du=d(lnx)=dxx,

v(x)=xdx=x22v(x)=xdx=x22.

Переходим к вычислению исходного интеграла, используя метод интегрирования по частям (ref1ref1):

xlnxdx=[u=lnx,du=dxx,dv=xdx,v=x22.]==lnxx22x2dx2x=lnxx22xdx2==lnxx22x24+C=x2(2lnx1)4+C.xlnxdx=[u=lnx,du=dxx,dv=xdx,v=x22.]==lnxx22x2dx2x=lnxx22xdx2==lnxx22x24+C=x2(2lnx1)4+C.

Ответ: xlnxdx=x2(2lnx1)4+C.xlnxdx=x2(2lnx1)4+C.

  1. Интегралы вида ekxsin(mx)dxekxsin(mx)dx, ekxcos(mx)dxekxcos(mx)dx, где kk и mm – числа.

Для применения формулы (ref1ref1) в качестве uu можно выбрать любую из функций (показательную или тригонометрическую), а за dvdv обозначить все остальные сомножители.

Пример 3

Вычислить интеграл:

excosxdxexcosxdx

Решение

Подынтегральное выражение содержит произведение показательной (exex) на триго-нометрическую (cosxcosx) функцию. Согласно рекомендациям в качестве uu можно принять exex, следовательно, dv=cosxdxdv=cosxdx. Теперь найдем dudu и vv:

du=d(ex)=exdxdu=d(ex)=exdx,

v=cosxdx=sinxv=cosxdx=sinx.

Переходим к вычислению исходного интеграла, используя метод интегрирования по частям (ref1ref1):

excosxdx=[u=ex,du=exdx,dv=cosxdx,v=sinx.]==exsinxsinxexdx=()excosxdx=[u=ex,du=exdx,dv=cosxdx,v=sinx.]==exsinxsinxexdx=()

Полученный интеграл также соответствует III типу интегралов. Для его для вычисле-ния повторно применяем метод интегрирования по частям.

()=[u=ex,du=exdx,dv=sinxdx,v=cosx]==exsinx(ex(cosx)ex(cosx)dx)==ex(sinx+cosx)excosxdx.()=[u=ex,du=exdx,dv=sinxdx,v=cosx]==exsinx(ex(cosx)ex(cosx)dx)==ex(sinx+cosx)excosxdx.

Важно!

В результате проделанных преобразований в правой части получили исходный интеграл.

excosxdx=ex(sinx+cosx)excosxdxexcosxdx=ex(sinx+cosx)excosxdx.

Решаем данное равенство относительно неизвестного интеграла. Для этого приводим подобные слагаемые (переносим интеграл из правой части в левую часть):

2excosxdx=ex(sinx+cosx)2excosxdx=ex(sinx+cosx)

или

excosxdx=ex(sinx+cosx)2excosxdx=ex(sinx+cosx)2.

Ответ: excosxdx=ex(sinx+cosx)2excosxdx=ex(sinx+cosx)2.

Рассмотрены только частные способы выбора uu и dvdv для применения метода интегрирования по частям. В других случаях они определяются путем проб и ошибок.

Тест по теме «Метод интегрирования по частям»

Тест: 3 вопроса
1. К методам интегрирования относятся:
метод Гаусса
дифференцирование
интегрирование по частям
2. Cуществует дифференцируемая функция u и имеющая первообразную функция v, такие, что u'v не имеет ______.
интеграла
первообразной
производной
3. Функция F(х) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке X, если…
хотя бы в одной точке х этого промежутка F '(x) = f(x)
если в каждой точке х этого промежутка F '(x) = f(x)
хотя бы в одной точке х этого промежутка f '(x) = F(x)
если в каждой точке х этого промежутка f '(x) = F(x)

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир
Ошибка при получении статей
×