Метод интегрирования по частям
Данный метод является одним из приемов вычисления ∫f(x)dx∫f(x)dx, основанный на применении следующей формулы:
∫udv=uv−∫vdu∫udv=uv−∫vdu
где u=u(x),v=v(x)u=u(x),v=v(x).
Идея метода заключается в том, чтобы представить подынтегральное выражение f(x)dxf(x)dx в виде udvudv, тем самым свести вычисление исходного интеграла к вычислению более простого ∫vdu∫vdu.
Чтобы найти ∫vdu∫vdu, можно использовать любой метод интегрирования, в том числе и метод интегрирования по частям.
Возникает вопрос: какую часть исходного подынтегрального выражения f(x)dxf(x)dx принять за uu, а какую – за dvdv? Разберем несколько стандартных случаев.
Типы интегралов и рекомендации
Типы интегралов, к которым применим метод интегрирования по частям и рекомендуемые приемы выбора частей.
- Интегралы вида ∫P(x)⋅ekxdx∫P(x)⋅ekxdx, ∫P(x)⋅sin(kx)dx∫P(x)⋅sin(kx)dx, ∫P(x)⋅cos(kx)dx∫P(x)⋅cos(kx)dx, где P(x)P(x) – многочлен, kk - число.
В данном случае удобно положить u=P(x)u=P(x), а за dvdv обозначить все остальные сомножители.
Такой тип интеграла вычисляется путем nn-кратного применения формулы (ref1ref1), где nn – степень многочлена P(x)P(x).
Вычислить интеграл:
∫(x+5)⋅e2xdx∫(x+5)⋅e2xdx
Решение
Подынтегральное выражение содержит произведение многочлена первой степени (x+1x+1) на показательную функцию (e2xe2x). Согласно рекомендациям в качестве функции uu следует взять (x+5)(x+5), тогда dvdv (все остальные сомножители) будет иметь вид: dv=e2xdxdv=e2xdx.
Для применения формулы (ref1ref1) осталось еще найти dudu и vv. Чтобы найти dudu, нужно uu продифференцировать по xx (найти её производную):
du=d(x+5)=dxdu=d(x+5)=dx.
Чтобы найти vv, нужно dvdv проинтегрировать:
v=∫e2xdx=e2x2v=∫e2xdx=e2x2.
При нахождении vv константу CC считают равной нулю.
Переходим к вычислению исходного интеграла, используя метод интегрирования по частям (ref1ref1):
∫(x+5)⋅e2xdx=[u=x+5,du=dx,dv=e2xdx,v=e2x2.]==(x+5)⋅e2x2−∫e2xdx2=(x+5)⋅e2x2−e2x4+C=e2x4⋅(2x+9)+C∫(x+5)⋅e2xdx=[u=x+5,du=dx,dv=e2xdx,v=e2x2.]==(x+5)⋅e2x2−∫e2xdx2=(x+5)⋅e2x2−e2x4+C=e2x4⋅(2x+9)+C.
Ответ: ∫(x+5)⋅e2xdx=e2x4⋅(2x+9)+C.∫(x+5)⋅e2xdx=e2x4⋅(2x+9)+C.
- Интегралы вида ∫P(x)⋅arcsin(kx)dx∫P(x)⋅arcsin(kx)dx, ∫P(x)⋅arccos(kx)dx∫P(x)⋅arccos(kx)dx, Unexpected text node: 'arctg 'Unexpected text node: 'arctg ', Unexpected text node: 'arcctg 'Unexpected text node: 'arcctg ', ∫P(x)⋅ln(kx)dx∫P(x)⋅ln(kx)dx, где P(x)P(x) – многочлен, kk – число.
В данном случае удобно положить dv=P(x)dxdv=P(x)dx, а за uu обозначить все остальные сомножители.
Вычислить интеграл:
∫x⋅lnxdx.∫x⋅lnxdx.
Решение
Подынтегральное выражение содержит произведение многочлена первой степени (xx) на логарифм (lnxlnx). Согласно рекомендациям в качестве dvdv следует взять xdxxdx, тогда uu (все остальные сомножители) будет иметь вид: u=lnxu=lnx. Теперь найдем dudu и vv:
du=d(lnx)=dxx,du=d(lnx)=dxx,
v(x)=∫xdx=x22v(x)=∫xdx=x22.
Переходим к вычислению исходного интеграла, используя метод интегрирования по частям (ref1ref1):
∫xlnxdx=[u=lnx,du=dxx,dv=xdx,v=x22.]==lnx⋅x22−∫x2dx2x=lnx⋅x22−∫xdx2==lnx⋅x22−x24+C=x2⋅(2lnx−1)4+C.∫xlnxdx=[u=lnx,du=dxx,dv=xdx,v=x22.]==lnx⋅x22−∫x2dx2x=lnx⋅x22−∫xdx2==lnx⋅x22−x24+C=x2⋅(2lnx−1)4+C.
Ответ: ∫x⋅lnxdx=x2⋅(2lnx−1)4+C.∫x⋅lnxdx=x2⋅(2lnx−1)4+C.
- Интегралы вида ∫ekx⋅sin(mx)dx∫ekx⋅sin(mx)dx, ∫ekx⋅cos(mx)dx∫ekx⋅cos(mx)dx, где kk и mm – числа.
Для применения формулы (ref1ref1) в качестве uu можно выбрать любую из функций (показательную или тригонометрическую), а за dvdv обозначить все остальные сомножители.
Вычислить интеграл:
∫ex⋅cosxdx∫ex⋅cosxdx
Решение
Подынтегральное выражение содержит произведение показательной (exex) на триго-нометрическую (cosxcosx) функцию. Согласно рекомендациям в качестве uu можно принять exex, следовательно, dv=cosxdxdv=cosxdx. Теперь найдем dudu и vv:
du=d(ex)=exdxdu=d(ex)=exdx,
v=∫cosxdx=sinxv=∫cosxdx=sinx.
Переходим к вычислению исходного интеграла, используя метод интегрирования по частям (ref1ref1):
∫ex⋅cosxdx=[u=ex,du=exdx,dv=cosxdx,v=sinx.]==ex⋅sinx−∫sinx⋅exdx=(∗)∫ex⋅cosxdx=[u=ex,du=exdx,dv=cosxdx,v=sinx.]==ex⋅sinx−∫sinx⋅exdx=(∗)
Полученный интеграл также соответствует III типу интегралов. Для его для вычисле-ния повторно применяем метод интегрирования по частям.
(∗)=[u=ex,du=exdx,dv=sinxdx,v=−cosx]==exsinx−(ex⋅(−cosx)−∫ex⋅(−cosx)dx)==ex(sinx+cosx)−∫ex⋅cosxdx.(∗)=[u=ex,du=exdx,dv=sinxdx,v=−cosx]==exsinx−(ex⋅(−cosx)−∫ex⋅(−cosx)dx)==ex(sinx+cosx)−∫ex⋅cosxdx.
В результате проделанных преобразований в правой части получили исходный интеграл.
∫ex⋅cosxdx=ex(sinx+cosx)−∫ex⋅cosxdx∫ex⋅cosxdx=ex(sinx+cosx)−∫ex⋅cosxdx.
Решаем данное равенство относительно неизвестного интеграла. Для этого приводим подобные слагаемые (переносим интеграл из правой части в левую часть):
2⋅∫ex⋅cosxdx=ex(sinx+cosx)2⋅∫ex⋅cosxdx=ex(sinx+cosx)
или
∫ex⋅cosxdx=ex(sinx+cosx)2∫ex⋅cosxdx=ex(sinx+cosx)2.
Ответ: ∫ex⋅cosxdx=ex(sinx+cosx)2∫ex⋅cosxdx=ex(sinx+cosx)2.
Рассмотрены только частные способы выбора uu и dvdv для применения метода интегрирования по частям. В других случаях они определяются путем проб и ошибок.
Вы можете заказать написание статьи по математике для публикации на Студворк!
Комментарии