Функциональные ряды. Основные понятия

Перед тем как перейти непосредственным к функциональным рядам, поговорим о числовых рядах и последовательностях.

Числовые ряды

В теории рядов рассматривают числовые последовательности вида

$a_1,a_2,a_3,\ldots a_n,\ldots$,

которые состоят из неограниченного количества чисел – членов последовательности. По сути, берется последовательность натуральных чисел ${n}$ и каждому $n$ ставится в соответствие, согласно некоторому определенному правилу, число $a_n$.

Выражение

$a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n+\ldots,$

состоящее из членов последовательности, называется бесконечным числовым рядом.

В общем виде такой ряд записывается как:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$

Сумму $S_n$ первых $n$ членов числового ряда называют $n$–ой частичной суммой:

$S_n=a_1+a_2+a_3+…+a_n$

Сходимость числового ряда

Если существует конечный предел:

$\lim\limits_{n \to \infty } S_n = S,$

то ряд называется сходящимся, а значение $S$ называют суммой ряда.

Если предел не существует или он равен $\infty$, то ряд является расходящимся.

Функциональные последовательности

Аналогично вводится понятие функциональной последовательности и функционального ряда. Берется последовательность натуральных чисел ${n}$ и каждому $n$ ставится в соответствие, согласно некоторому определенному правилу, функция $f_n (x)$. Если функции $f_n (x)$ определены на некотором множестве $x \in E$, $E \subset R$, то на множестве $E$ определена и функциональная последовательность:

$f_1 (x),f_2 (x),f_3 (x), \ldots f_n (x), \ldots$

Соответственно, множество $E$ является областью определения этой функциональной последовательности ${f_n (x)}$. Для любого отдельно взятого значения $x$ из множества $E$ функциональная последовательность является числовой последовательностью.

Функциональные ряды

Выражение:

$f_1 (x)+f_2 (x)+f_3 (x)+ \ldots +f_n (x)+ \ldots,$

состоящее из членов функциональной последовательности, называется функциональным рядом. В общем виде такой ряд записывается как:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n(x)$

Несколько примеров функциональных рядов:

$\frac{\sin x}{2!}+\frac{\sin 2x}{3!}+\frac{\sin 3x}{4!}+\ldots+\frac{\sin nx}{(n+1)!}+\ldots=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{(n+1)!}$

$-\frac{e^{x+1}}{2}+\frac{ e^{x+2}}{4}-\frac{e^{x+3}}{8} +\ldots +(-1)^n\frac{ e^{x+n}}{2^n}+\ldots=\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{ e^{x+n}}{2^n}$

$\frac{x}{2}+\frac{ x^2}{3}+\frac{x^3}{4} +\ldots +\frac{x^n}{n+1} +\ldots=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n+1}$

Сходимость функциональных рядов

Сумму $S_n$ первых $n$ членов функционального ряда называют n–ой частичной суммой:

$S_n (x)=f_1 (x)+f_2 (x)+f_3 (x)+\ldots+f_n (x)$

Если при определенном значении $x\in E$ существует конечный предел:

$\lim\limits_{n \to \infty } S_n (x) = S (x),$

то ряд называется сходящимся, а значение $S(x)$ называют суммой ряда. Соответствующее значение $x$, при котором ряд сходится, является точкой сходимости функционального ряда. Множество $D$ всех точек сходимости функционального ряда называют областью сходимости данного ряда.

Условие существования предела

При $n \to \infty$ предел частичных сумм равен $S(x)$, если для любого $\varepsilon>0$ существует такое $N(\varepsilon,x)$, что при любом $n> N(\varepsilon,x)$ выполняется соотношение
$|S_n (x)-S(x)|<\varepsilon.$

Равномерная сходимость функциональных рядов

Помимо сходимости, для функциональных рядов вводится понятие равномерной сходимости. В приведенном условии существования предела значение $N$ зависит от $\varepsilon$ и конкретного значения $x$. Если в некоторой области $x \in G$ условие сходимости выполняется и, при этом, значение $N(\varepsilon,x)= N(\varepsilon)$ не зависит от конкретного значения $x$, т.е . $N(\varepsilon)$ является одним и тем же для всех $x \in G$, то функциональный ряд является равномерно сходящимся в области $G$:

$\lim\limits_{n \to \infty } S_n (x) \underset {x \in G}{\rightrightarrows} S (x)$

Степенные ряды

Одним из видов функциональных рядов являются степенные ряды, которые записываются как:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$

Как правило, в большинстве курсов высшей математики изучение функциональных рядов ограничивается исследованиями степенных рядов.

Сходимость функциональных рядов

Область сходимости степенного ряда определяется радиусом сходимости:

$|x - x_0| < R$

Сходимость на границе области $|x - x_0| = R$ обычно исследуется дополнительно.

Степенной ряд вида:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n (x-x_0)^n$

сходится равномерно в любом круге вида $|x - x_0| < r$, целиком лежащем внутри круга сходимости.

Пример

Найдем область сходимости степенного ряда

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} x^{2n}=x^2+x^4+x^6+x^8+\ldots.$

Заметим, что сумма $S_n$ первых $n$ членов является суммой геометрической прогрессии, и она записывается в виде:

$S_n=x^2+x^4+x^6+x^8+\ldots+x^{2n} = \frac {x^2(1-x^{2n})}{1-x^2}, \qquad x^2\ne1$

Очевидно, что в случае $x^2=1$ ряд расходится. Предел частичных сумм существует при $x^2<1$ и он равен:

$\lim\limits_{n \to \infty } S_n (x) = \lim\limits_{n \to \infty } \frac {x^2(1-x^{2n})}{1-x^2}=\frac {x^2}{1-x^2}$

При $x^2>1$ конечного предела частичных сумм $S_n (x)$ не существует, т.к. в этом случае $x^{2n} \to \infty$. Таким образом, данный степенной ряд сходится при $x^2<1$.

Не знаете, сколько стоит статья по математике на заказ? Обратитесь к нашим экспертам!

Тест по теме «Функциональные ряды. Основные понятия»