Свойства скалярного произведения векторов

Мы уже знаем, что такое скалярное произведение векторов. Рассмотрим его свойства.

1. Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом: $\vec{a}\cdot\vec{a}=\vec{a}^{2}.$
   Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: $\vec{a}^{2}=\left | \vec{a} \right |^{2}.$
2. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: $\vec{a}\vec{b}=\vec{b}\vec{a}.$
3. Скалярное произведение векторов обладает сочетательным свойством по отношению к умножению вектора на число: $(k\vec{a})\cdot\vec{b}=k(\vec{a}\cdot\vec{b}).$
4. Скалярное произведение векторов обладает распределительным свойством относительно сложения векторов: $\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}.$
5. Длина вектора $\vec{a}$ равна $\left | \vec{a} \right |=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}.$
6. Величина угла $\varphi=\angle(\vec{a},\vec{b})$ (а точнее косинус этого угла) между ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равна частному скалярного произведения этих векторов и произведения их длин: $\cos\varphi=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left | \vec{a} \right |\cdot\left | \vec{b} \right |}.$
7. Два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ортогональны (перпендикулярны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: $\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0.$
8. Угол между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является острым тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно; и является тупым – когда скалярное произведение отрицательно.
9. Длина проекции вектора $\vec{a}$ на ось, образованную вектором $\vec{b}$, равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора $\vec{b}$: $\Pi \mathrm{p}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left | \vec{b} \right |}.$
10. Если векторы $\vec{a}=$ { $a_{1};a_{2};a_{3}$ } и $\vec{b}=$ { $b_{1};b_{2};b_{3}$ } заданы своими координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат: $\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+a_{3}\cdot b_{3}.$

Научная статья по математике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!