Мы уже знаем, что такое скалярное произведение векторов. Рассмотрим его свойства.
- Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом: a⃗⋅a⃗=a2⃗.
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: a2⃗=∣a⃗∣2. - Скалярное произведение обладает переместительным свойством: a⃗b⃗=b⃗a⃗.
- Скалярное произведение векторов обладает сочетательным свойством по отношению к умножению вектора на число: (ka⃗)⋅b⃗=k(a⃗⋅b⃗).
- Скалярное произведение векторов обладает распределительным свойством относительно сложения векторов: a⃗⋅(b⃗+c⃗)=a⃗⋅b⃗+a⃗⋅c⃗.
- Длина вектора a⃗ равна ∣a⃗∣=a⃗⋅a⃗.
- Величина угла φ=∠(a⃗,b⃗) (а точнее косинус этого угла) между ненулевыми векторами a⃗ и b⃗ равна частному скалярного произведения этих векторов и произведения их длин: cosφ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣.
- Два ненулевых вектора a⃗ и b⃗ ортогональны (перпендикулярны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: a⃗⊥b⃗⇔a⃗⋅b⃗=0.
- Угол между двумя ненулевыми векторами a⃗ и b⃗ является острым тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно; и является тупым – когда скалярное произведение отрицательно.
- Длина проекции вектора a⃗ на ось, образованную вектором b⃗, равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора b⃗: Πp⃗ba⃗=a⃗⋅b⃗∣b⃗∣.
- Если векторы a⃗= { a1;a2;a3 } и b⃗= { b1;b2;b3 } заданы своими координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат: a⃗⋅b⃗=a1⋅b1+a2⋅b2+a3⋅b3.
Научная статья по математике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!
Комментарии