Свойства векторного произведения векторов

Мы уже знаем, что такое векторное произведение векторов.

Рассмотрим его свойства.

Пусть $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ – произвольные векторы, $a t$ – произвольное число, то:

1. Векторное произведения двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равно нулю тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны (т.е. лежат на одной прямой или на параллельных прямых): $\vec{a}\times\vec{b}=0\Leftrightarrow\vec{a}\|\vec{b}.$
2. Векторное произведение векторов некоммутативно: $\vec{a}\times\vec{b}=-\left ( \vec{b}\times\vec{a} \right ).$
3. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения: $t\vec{a}\times \vec{b}=\vec{a}\times t\vec{b}=t(\vec{a}\times\vec{b}).$
4. Векторное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов: $\left ( \vec{a}+\vec{b} \right )\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c} и \vec{a}\times\left ( \vec{b}+\vec{c} \right )=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}.$
5. Векторное произведение вектора на самого себя равно нулю: $\vec{a}\times\vec{a}=0.$

Площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b},$ равна модулю векторного произведения этих векторов: $S=\left | \vec{a}\times \vec{b} \right |.$

Площадь треугольника, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b},$ равна половине модуля векторного произведения этих векторов: $S_{\triangle}=\frac{1}{2}\left | \vec{a}\times \vec{b} \right |.$

Пример 1

Найти площадь параллелограмма, образованного векторами $\vec{a}=\left \{ 2;3;5 \right \} и \vec{b}=\left \{ 0;1;4 \right \}.$

Решение

$S=\left | \vec{a}\times \vec{b} \right |.$

Найдем векторное произведение: $\vec{a}\times \vec{b}=\begin{vmatrix}i&j&k\\2&3&5\\0&1&4\end{vmatrix}=(3\cdot4-1\cdot5)i-(2\cdot4-0\cdot5)j+(2\cdot1-0\cdot3)k=7i-8j+2k.$

Найдем модуль векторного произведения: $\left | \vec{a}\times \vec{b} \right |=\sqrt{7^{2}+(-8)^{2}+2^{2}}=\sqrt{49+64+4}=\sqrt{117}.$ Подставим полученное значение в формулу: $S=\left | \vec{a}\times \vec{b} \right |=\sqrt{117}.$

Ответ: $S=\sqrt{117}.$

Пример 2

Найти площадь треугольника, образованного векторами $\vec{a}=\left \{ 2;3;5 \right \}$ и $\vec{b}=\left \{ 0;1;4 \right \}.$

Решение

$S_{\triangle}=\frac{1}{2}\left | \vec{a}\times \vec{b} \right |.$

Найдем векторное произведение: $\vec{a}\times \vec{b}=\begin{vmatrix}i&j&k\\2&3&5\\0&1&4\end{vmatrix}=(3\cdot4-1\cdot5)i-(2\cdot4-0\cdot5)j+(2\cdot1-0\cdot3)k=7i-8j+2k.$

Найдем модуль векторного произведения: $\left | \vec{a}\times \vec{b} \right |=\sqrt{7^{2}+(-8)^{2}+2^{2}}=\sqrt{49+64+4}=\sqrt{117}.$ Подставим полученное значение в формулу: $S_{\triangle}=\frac{1}{2}\left | \vec{a}\times \vec{b} \right |=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{117}=\frac{\sqrt{117}}{2}.$

Ответ: $S=\frac{\sqrt{117}}{2}.$

Научная статья по математике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!

Тест по теме «Свойства векторного произведения векторов»