Объем тороида

Найдите объем тора, если радиус его образующей $r$ равен $\text{ 4см}$, а $R$ равен $10\text{ см}$.

Решение

$r=4$
$R=10$

По общей формуле получаем:

$V=2\cdot\pi^2\cdot r^2\cdot R=2\cdot\pi^2\cdot 4^2\cdot 10\approx3155\text{ см}^3$

Ответ

$3155\text{ см}^3.$

Диаметры тороида равны соответственно $8\text{ см}$ и $\text{4 см}$. Найдите его объем.

Решение

$D=8$
$d=4$

Вместо радиусов нам даны радиусы. Можно или переписать нашу формулу для диаметров либо же найти радиусы и воспользоваться старой формулой. Пойдем по второму пути.

Связь между диаметрами и радиусами:

$D=2\cdot R$
$d=2\cdot r$

Отсюда радиусы:

$R=\frac{D}{2}=\frac{8}{2}=4$
$r=\frac{d}{2}=\frac{4}{2}=2$

Объем тороида:

$V=2\cdot\pi^2\cdot r^2\cdot R=2\cdot\pi^2\cdot 2^2\cdot 4\approx315.5\text{ см}^3$

Ответ

$315.5\text{ см}^3.$

Площадь $S$ поверхности тора равна $130\text{ см}^2$, а $r = 4\text{ см}$. Вычислите его объем.

Решение

$S=130$
$r=4$

В статье Площадь поверхности тора мы занимались вычислением площади поверхности тора и пользовались формулой:

$S=4\cdot\pi^2\cdot r\cdot R$

Сравнивая эту формулу с формулой для объема тора:

$V=2\cdot\pi^2\cdot r^2\cdot R$,

получаем связь между площадью поверхности и объемом тороида:

$V=\frac{1}{2}\cdot r\cdot S$

Все величины нам здесь известны, подставляем их численные значения и получаем:

$V=\frac{1}{2}\cdot r\cdot S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 130=260\text{ см}^3$

Ответ

$260\text{ см}^3.$

Один из радиусов тора $R$ входит в окружность, площадь которой $169\pi\text{ см}^2$. Второй является радиусом $r$ образующей окружности и равен $8\text{ см}$. Найдите объем этого тела.

Решение

$S=169\pi$
$r=8$

Шаг первый — нахождение радиуса $R$. Так как:

$S=\pi\cdot R^2$,

то:

$R=\sqrt{\frac{S}{\pi}}$

$R=\sqrt{\frac{169\pi}{\pi}}$

$R=\sqrt{169}$

$R=13$

Оба радиуса тора известны, находим его объем по основной формуле:

$V=2\cdot\pi^2\cdot r^2\cdot R=2\cdot\pi^2\cdot 8^2\cdot 13\approx16406\text{ см}^3$

Ответ

$16406\text{ см}^3.$