Объем шарового сегмента

Вычислите объем шарового сегмента, если известны его высота и радиус основания. Равны они, соответственно, $4\text{ см}$ и $8\text{ см}$.

Решение

$h=4$
$r=8$

По второй формуле получаем:

$V=\frac{1}{6}\cdot\pi\cdot h\cdot(3\cdot r^2+h^2)=\frac{1}{6}\cdot\pi\cdot 4\cdot(3\cdot 8^2+4^2)\approx435.4\text{ см}^3$

Ответ

$435.4\text{ см}^3.$

Рассмотрим предыдущую задачу, но проделаем вычисления по другой формуле. Для этого нам нужно найти радиус шара $R$.

Решение

$h=4$
$r=8$

$R=\frac{r^2+h^2}{2\cdot h}=\frac{8^2+4^2}{2\cdot 4}=10$

Объем сегмента:

$V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h^2\cdot(3\cdot R-h)=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot 4^2\cdot(3\cdot 10-4)\approx435.4\text{ см}^3$

Исходя из полученных ответов можно сделать вывод, что данная формула справедлива, так как ответы полученные разными формулами совпадают.

Ответ

$435.4\text{ см}^3.$

Определить объем шарового сегмента, если площадь его поверхности равна $64\text{ см}$, а высота – $5\text {см}$.

Решение

$S=64$
$h=5$

Для начала найдем радиус $R$ шара. Площадь поверхности шарового сегмента можно найти так:

$S=2\cdot\pi\cdot R\cdot h$.

Найдем отсюда радиус $R$ шара:

$R=\frac{S}{2\cdot\pi\cdot h}=\frac{64}{2\cdot\pi\cdot 5}\approx2$

Объем шарового сегмента по формуле:

$V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h^2\cdot(3\cdot R-h)\approx\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot 5^2\cdot(3\cdot 2-5)\approx26\text{ см}^3$

Ответ

$26\text{ см}^3.$