Найти площадь поверхности тора - расчет по формуле на онлайн-калькуляторе

Определение тора

Тором или тороидом называют тело, которое получается путем вращения окружности вокруг оси, не находящейся на этой окружности.

Онлайн-калькулятор площади поверхности тора

Открытый тор по виду напоминает бублик. Также тор может быть закрытым, но только в том случае, когда ось его вращения касается окружности, которой он был получен.

Тор можно задать параметрическими уравнениями:

$x(\varphi, \psi)=(R+r\cos\varphi)\cos\psi$
$y(\varphi, \psi)=(R+r\cos\varphi)\sin\psi$
$z(\varphi, \psi)=r\sin\varphi$

Угол $\varphi$ лежит в полуинтервале от $0$ до $2\pi$ : $\varphi\in[0, 2\pi)$
Угол $\psi$ лежит в полуинтервале от $-\pi$ до $\pi$ : $\psi\in[-\pi, \pi)$

$r$ — радиус окружности, образующей тор при вращении;
$R$ — расстояние от центра образующей окружности до оси вращения тора.

Займемся задачей вычисления площади поверхности тора.

Формула площади поверхности тора по радиусам

$S=4\cdot\pi^2\cdot R\cdot r$

$R$ — расстояние от центра образующей окружности до оси вращения;
$r$ — радиус образующей окружности.

Пример

Один из радиусов тора равен 5 (см.) (расстояние от центра образующей окружности до центра вращения тора), а длина $l$ образующей окружности равна $8\pi$ (см.). Найдите площадь поверхности тора.

Решение

$R=5$
$l=8\pi$

Найдем радиус образующей окружности:

$l=2\cdot\pi\cdot r$
$8\pi=2\cdot\pi\cdot r$
$r=4$

Тогда площадь поверхности тора:

$S=4\cdot\pi^2\cdot R\cdot r=4\cdot\pi^2\cdot 5\cdot 4\approx789$ (см. кв.)

Ответ: 789 см. кв.

Формула площади поверхности тора по диаметрам

Эту формулу легко получить, если вспомнить, что диаметр равен удвоенному радиусу.

$S=\pi^2\cdot D\cdot d$

$D$ — удвоенное расстояние от центра образующей окружности до оси вращения;
$d$ — диаметр образующей окружности.

Пример

Один из радиусов тора (расстояние от центра его вращения до центра образующей окружности) входит в круг, площадь $S$ которого равна $64\pi$ (см. кв.). Радиус образующей окружности равен 7 (см.). Найти полную площадь тора.

Решение

$S=64\pi$
$r=7$

Найдем радиус R:

$S=\pi\cdot R^2$
$64\pi=\pi\cdot R^2$
$64=R^2$
$R=8$

Найдем диаметры:

$D=2\cdot R=2\cdot 8=16$
$d=2\cdot r=2\cdot 7=14$

Тогда площадь тора:

$S=\pi^2\cdot D\cdot d=\pi^2\cdot 16\cdot 14\approx2209$ (см. кв.)

Ответ: 2209 см. кв.

Вы можете заказать написание статьи по математике для публикации на Студворк!

Площадь поверхности тора

Онлайн-калькулятор площади поверхности тора

Формула площади поверхности тора по радиусам

Формула площади поверхности тора по диаметрам

Комментарии
0

Предыдущая статья

Следующая статья

Интересные статьи за сегодня

Площадь поверхности тора

Онлайн-калькулятор площади поверхности тора

Формула площади поверхности тора по радиусам

Формула площади поверхности тора по диаметрам

Комментарии 0

Предыдущая статья

Следующая статья

Интересные статьи за сегодня

Комментарии
0