Площадь поверхности конуса

Найти площадь поверхности кругового конуса, если радиус основания равен 3 (см.), а высота $h$ треугольника, путем вращения которого образовался данный конус, равна 4 (см.)

Решение

$r=3$
$h=4$

Образующую можно найти, если рассмотреть треугольник, катетами которого являются радиус и высота, а гипотенузой - сама образующая $l$. По теореме Пифагора имеем:

$l^2=r^2+h^2$
$l^2=3^2+4^2$
$l^2=25$
$l=5$

Вычислим площадь основания конуса:

$S_{\text{осн}}=\pi\cdot r^2=\pi\cdot 3^2\approx28.26$ (см. кв.)

Площадь боковой поверхности:

$S_{\text{бок}}=\pi\cdot r\cdot l=\pi\cdot 3\cdot 5\approx47.10$ (см. кв.)

Полная площадь

$S=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}\approx28.26+47.10=75.36$ (см. кв.)

Ответ: 75.36 см. кв.

Условие возьмем из предыдущей задачи, добавив к нему только лишь радиус второго основания $r'$. Пусть он будет равен 2 (см.). Требуется вычислить полную площадь поверхности этого усеченного конуса.

Решение

$l=5$
$r=3$
$r'=2$

Оснований у нас теперь два, поэтому полная площадь оснований будет равна сумме площадей этих оснований с радиусами $r$ и $r'$:

$S_{\text{осн}}=S_{\text{осн r}}+S_{\text{осн r'}}$

Площадь основания радиуса $r$:

$S_{\text{осн r}}=\pi\cdot r^2=\pi\cdot 3^2\approx28.26$ (см. кв.)

Площадь основания радиуса $r'$:

$S_{\text{осн r'}}=\pi\cdot r'^2=\pi\cdot 2^2\approx12.56$ (см. кв.)

Площадь боковой поверхности:

$S_{\text{бок}}=\pi\cdot l\cdot (r+r')=\pi\cdot 5\cdot (3+2)\approx78.50$ (см. кв.)

Полная площадь:

$S=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=S_{\text{осн r}}+S_{\text{осн r'}}+S_{\text{бок}}\approx28.26+12.56+78.50=119,32$ (см. кв.)

Ответ: 119,32 см. кв.