Механический смысл дифференциала функции

Дифференциал в механике

Рассмотрим механический смысл дифференциала функции. И для начала напомним, что дифференциалом функции $y=f(x)$ в точке $x$ называется величина:

$dy=f'(x)dx,$

где $f'(x)$ — производная функции $f(x)$ в точке $x$.

Мы не пишем точку $x_0$, потому что эта формула справедлива для любой точки $x$ из области определения функции $f(x)$. Видно, что дифференциал функции $dy$ тоже будет функцией точки. Для того чтобы выяснить, в чем состоит механический смысл дифференциала, нам придется вспомнить физический (или механический) смысл самой производной.

Итак, рассмотрим материальную точку, движущуюся в пространстве. Пусть для простоты она движется по прямой, скажем, вдоль оси $x$. Пусть в момент времени $t=0$ наше тело (материальная точка) находилось в точке $x=0$. Пусть теперь тело движется с какой-то скоростью, не обязательно постоянной. Это значит, что существует какая-то функция координаты $x$ от времени $t$. В общем виде ее можно записать как:

$x=x(t)$

Эту функцию называют законом движения тела вдоль оси $x$. Как найти скорость тела в момент времени $t$? В статье Физический смысл производной мы выяснили, что скорость тела $v$ равна производной от положения тела (его координаты) по времени. Стало быть:

$v=\frac{dx(t)}{dt}$

Эта формула говорит, что за малое время $dt$ тело проходит расстояние $dx$. И скорость – это просто их отношение. Но $dx$ это же дифференциал функции $x=x(t)$. Значит, какой тогда получается физический (механический) смысл дифференциала?

$dx$ – это перемещение тела за время $dt$, если тело на протяжении этого отрезка времени ($dt$) двигалось со скоростью $v$. Мы уже сказали, что скорость тела может изменяться, то есть $v$ – это функция $t$ : $v=v(t)$. Давайте запишем нашу формулу для дифференциала функции с указанием ее аргумента:

$dx(t)=v(t)dt$

Итак, мы выбираем себе некоторый (любой) момент времени $t$, потом «отсчитываем» от него маленький отрезок $\Delta t$ и наблюдаем, какое расстояние прошло тело за это время. Для этого нам нужно знать скорость, с которой тело двигалось в этот промежуток времени. Но скорость постоянно меняется. Поэтому мы берем все меньше и меньше промежуток времени $\Delta t$, пока скорость «почти» не будет меняться. Это позволит нам считать, что скорость на промежутке $\Delta t$ будет «почти» постоянной. В этом случае мы сможем вычислить расстояние, пройденное телом за это время, по привычной формуле: $\Delta x=v\Delta t$. Эта формула будет тем «точнее», чем меньше будет $\Delta t$. В пределе, когда $\Delta t\rightarrow 0$, мы получим:

$dx=vdt$

То есть формулу для дифференциала.

Итак, мы с разных сторон подошли к вопросу о механическом смысле дифференциала функции.

Дифференциал с механической точки зрения – это бесконечно малое расстояние, пройденное телом за бесконечно малое время так, если бы все это время тело двигалось с постоянной скоростью.

Еще несколько примеров дифференциалов в физике

Нужно сказать, что хотя это и механический смысл дифференциала, но в физике дифференциал имеет разный смысл в зависимости от того, с какими зависимостями (функциями) мы имеем дело.

Дифференциал скорости

$dv=adt$

$a$ – ускорение тела.

Дифференциал механической работы

$dA={F}d{r}$

${F}$ – сила, действующая на частицу,
${dr}$ – элементарное перемещение.

Дифференциал массы тела

$dm=\rho dV$

$\rho$ – плотность вещества,
$dV$ – дифференциал объема, занимаемого телом.

Закон радиоактивного распада вещества

И напоследок закон радиоактивного распада вещества за малое время $dt$ в дифференциальной форме:

$dN=-\lambda Ndt$

$N$ – количество радиоактивного вещества в момент времени $t$,
$\lambda$ – постоянная распада.

Вы можете заказать написание статьи по математике для публикации на Студворк!

Тест по теме «Механический смысл дифференциала функции»