Физический смысл производной

В этой статье мы раскроем физический смысл понятия производной. Для этого рассмотрим пример, подтолкнувший Ньютона к созданию дифференциального и интегрального исчисления (вместе с Лейбницем, который подошел к этому вопросу с математической точки зрения).

Классическое определение производной

Рассмотрим функцию одной переменной $y=f(x)$. Функция $f$ устанавливает зависимость между величинами $x$ и $y$. Каждому значению независимой переменной $x$ ставится в соответствие определенное значение величины $y$ ($y$ есть функция от $x$). Выберем теперь любое значение $x$ и обозначим его через $x_0$. Этому значению соответствует величина $y_0$: $y_0=f(x_0)$. Придадим значению $x_0$ какое-то приращение $\Delta x$ и рассмотрим точку $x_0+\Delta x$. Этой точке будет соответствовать величина $f(x_0+\Delta x)$. Рассмотрим такое отношение:

$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

Теперь нужно устремить приращение $\Delta x$ к нулю (перейти к пределу при $\Delta x\rightarrow 0$) и мы получим значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$:

$f'(x_0)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$

Осталось сказать, что значение $x_0$ мы выбирали произвольно и на его месте могла быть любая другая точка. Так что можно убрать нулевой индекс возле $x_0$ и написать просто:

$f'(x)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.$

Это и есть производная функции $f(x)$ в любой точке $x$. Такую формулу вы видите почти во всех учебниках по математическому анализу (другое название дифференциального и интегрального исчисления). Ее часто бывает удобно переписать в следующем виде:

$f'(x)=\frac{dy}{dx}$,

где буква $d$ обозначает бесконечно малое приращение, а величины $dy$ и $dx$ называют дифференциалами соответственно величин $y$ и $x$.

Смысл производной

Это отношение приращения функции к приращению аргумента (независимой переменной), при условии, что последнее стремится к нулю (становится сколь угодно малым).

Для тех, кто хоть немного представляет себе использование различных функций в физике, станет очевидным и физический смысл производной. Это просто скорость изменения какой то величины (функции).

Новый взгляд на понятие производной

Рассмотрим задачу, к которой приходят, как только начинают изучать физику. Это задача о движении тела и одной из главных его характеристик – скорости. Предположим (для простоты), что тело движется вдоль прямой и за время $t=10$ с прошло расстояние $l=50$ м. Что можно сказать о скорости $v$ данного тела? Простейшая формула физики говорит:

$v=\frac{l}{t}.$

В нашем случае получаем, что $v=5$ м/c. Казалось бы, что такая простая задача может иметь общего с производной и функциями? Из формулы $v=l/t$ можно выразить путь, который тело, двигаясь со скоростью $v$, проходит за время $t$:

$l=vt.$

Смотрите, у нас есть функция $l=l(t)$ – зависимость пройденного пути от времени. Давайте теперь попробуем найти производную от этой функции по ее аргументу (то есть по времени). Найдем величину:

$\displaystyle l'(t)=\frac{dl}{dt}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{l(t+\Delta t)-l(t)}{\Delta t}.$

Мы взяли и разделили приращение функции (бесконечно малого пути $dl$, проходимого телом за бесконечно малое время $dt$) на приращение аргумента (время движения $dt$): разделили пройденное расстояние на время движения. Это и есть скорость движения. Мы даже видим, что размерность производной будет м/c. Таким образом, становится ясно, что производная действительно является скоростью изменения функции при изменении аргумента. В нашем случае в роли функции выступает путь, а в роли аргумента – время. Однако мы рассмотрели самый простой случай движения – с постоянной скоростью. Но самое интересное состоит в том, что какое бы сложное движение мы ни брали, его скорость всегда будет определяться как производная. Тут необходимо сделать некоторые обобщения. Например, если местоположение тела (материальной точки) задается радиус-вектором ${r}(t)$ как функция времени, то скорость этого тела ${v}(t)$ тоже будет вектором и по определению равна:

$\displaystyle {v}(t)=\frac{d{r}(t)}{dt}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{{r}(t+\Delta t)-{r}(t)}{\Delta t}.$

Этот пример можно было бы назвать самым типичным и наглядным для понимания физического смысла производной. Именно так и поступают многие авторы книг по математике и физике. Но существует масса других примеров. Производные встречаются на каждом шагу в разных разделах физики. Давайте рассмотрим еще некоторые из них. Просто для того, чтобы оценить всю важность понятия производной.

Другие примеры производных в физике

Как видите, производная – это очень важное и полезное понятие. Она позволяет формулировать многие физические утверждения и законы математически строго, точно, кратко и красиво.

Не знаете, где заказать написание статьи по математике на заказ? Авторы Студворк к вашим услугам!

Тест по теме «Физический смысл производной»