Дифференцирование параметрически заданных функций

Рассмотрим вопрос о дифференцировании функций, заданных параметрическим путем. До этого мы имели дело с функциями вида $y=f(x)$ (то есть с явной зависимостью) и неявными функциями $F(x, y)=0$. Однако это не единственные способы представления функциональной зависимости между двумя величинами $y$ и $x$.

Речь идет о функциях, которые задаются неким параметром $t$. Идея состоит в том, что мы рассматриваем две «обычные» функции $x=\varphi (t)$ и $y=\psi (t)$. Здесь видно, что каждому значению аргумента (параметра) $t$ будут отвечать какие-то частные значения функций $\varphi (t)$ и $\psi (t)$. То есть для каждого значения $t$ мы получим два значения: $x$ и $y$. А теперь смотрите: мы можем забыть, что у нас есть параметр $t$, а довольствоваться только парой величин $x$ и $y$.

Можно увидеть здесь функциональную зависимость между $x$ и $y$ и даже попытаться представить эту зависимость в привычном нам виде $y=f(x)$. Следующие примеры помогут уяснить эту идею.

Примеры параметрически заданных функций

Пример 1

$x=\varphi (t)=t$,

$y=\psi (t)=t^2$

Это элементарный пример. Функция $\varphi (t)$ имеет обратную, и мы легко можем выразить $t$ через $x$. Здесь эти функции попросту совпадают и $t=x$. Подставим теперь это выражение в функцию $y=\psi (t)$:

$y=\psi (t)=t^2=x^2$

Вот мы и получили обычную функцию $y=f(x)=x^2$. Дифференцировать такие функции мы, конечно, умеем. Здесь это просто $f'(x)=2x$.

Пример 2

$x=\varphi (t)=t^4$,

$y=\psi (t)=\sin t$

Чтобы представить данную функцию в обычном виде, нам нужно избавится от $t$. То есть выразить его из одной функции и подставить в другую. В нашем случае $t$ проще выразить из первой функции. Получаем $t=x^{\frac{1}{4}}$. Теперь подставим это в функцию для $y$:

$y=\sin t=\sin \big({x^{\frac{1}{4}}}\big)$

Пример 3

$x=\varphi (t)=a(t-\sin t)$,

$y=\psi (t)=a(1-\cos t)$,

$-\infty<t<\infty$

Если мы начертим кривую, задаваемую этими уравнениями (функциями), то получим удивительное изображение циклоиды. Ранее мы имели дело с такими параметрически заданными функциями, где без труда можно было избавиться от $t$. Но бывают случаи, когда это сделать довольно непросто, а порой даже невозможно. В таком случае мы не сможем записать нашу функцию в виде $y=f(x)$ и взять производную по тем правилам, которые мы уже знаем. Этот пример, впрочем, позволяет исключить $t$. Можно пытаться выразить $t$ через $y$ из второго уравнения. Получается что-то вроде арккосинуса. Подставив $t$ в первое уравнение, мы получим функцию зависимости $x$ от $y$. Но, возможно, нам захочется получить функцию $y$ от аргумента $x$, а с этим могут возникнуть проблемы. А потом нужно будет это еще продифференцировать.

Так что все выглядит не очень просто. К счастью, математики на этот счет придумали способ, как можно вычислить производную от $y$ по $x$, не получая предварительно функциональной зависимости вида $y=f(x)$. Этим мы сейчас и займемся.

Дифференцирование параметрически заданной функции

Итак, представим себе, что $x$ и $y$ заданы как функции некого параметра $t$:

$x=\varphi (t)$,

$y=\psi (t)$.

Предположим также, что функции $\varphi (t)$ и $\psi (t)$ нужное число раз дифференцируемые, то есть имеют нужное число производных по аргументу (параметру) $t$. Наложим еще одно условие: чтобы у функции $x=\varphi (t)$ существовала обратная функция $t=\varphi^{-1}(x)$. Это значит, что первая производная $\varphi '(t)$ отлична от нуля.

Найдем теперь первую производную от $y$ по $x$. Как вы помните, из определения производной следует, что:

$y'_x=\frac{dy}{dx}.$

Запишем теперь аналогично первые производные от функций $\varphi (t)$ и $\psi (t)$ по $t$:

$x'(t)=\varphi '(t)=\frac{dx}{dt},$

$y'(t)=\psi '(t)=\frac{dy}{dt}.$

Теперь выразим дифференциалы $dx$ и $dy$: $dx=\varphi '(t)dt$ и $dy=\psi '(t)dt$. Наконец, подставим их в определение первой производной функции $y(x)$:

$y'_x=\frac{dy}{dx}=\frac{\psi '(t)dt}{\varphi '(t)dt}=\frac{\psi '(t)}{\varphi '(t)}.$

Вот это и есть главное правило дифференцирования параметрически заданных функций. Сформулируем его так:

Если нам даны функции $x=\varphi (t)$ и $y=\psi (t)$ параметра $t$, то производная от функции $y$ по аргументу $x$ представляется выше приведенной формулой. Нужно просто производную $\psi '(t)$ разделить на производную $\varphi '(t)$.

Теперь, кстати, понятно, почему мы потребовали, чтобы первая производная $\varphi '(t)$ была отлична от нуля. В противном случае у нас в знаменателе оказался бы нуль, а на нуль, как известно, делить очень трудно. Аналогичным образом можно подойти и к определению формул для производных функции $y=f(x)$ высших порядков.

Теперь, вооружившись этой главной формулой, мы можем приступить к тем примерам, которые мы приводили раньше. Для двух первых случаев мы вычислим производные $y'_x$ двумя способами и сравним их. То есть сначала мы используем правило дифференцирования параметрически заданных функций, а потом воспользуемся явным видом функции $y=f(x)$ там, где это возможно сделать.

Пример 1

$x=\varphi (t)=t$,

$y=\psi (t)=t^2$

$x'(t)=\varphi '(t)=1$

$y'(t)=\psi' (t)=2t$

$y'_x=\frac{\psi' (t)}{\varphi '(t)}=2t$

Для того чтобы получить эту производную как функцию $x$, а не $t$, нам нужно выразить $t$ через $x$ и подставить в формулу для производной. Вы можете сказать, зачем нам нужен этот новый способ дифференцирования параметрически заданных функций, если нам все равно приходится выражать $t$ через $x$. Но здесь это нужно сделать только для того, чтобы получить результат дифференцирования, то есть производную, как функцию $x$. Саму же производную (пусть даже параметра $t$) мы получили без какого бы то ни было выражения $t$ через $x$. И уж точно мы не пытались записать функцию вида $y=f(x)$. Так что разница все-таки есть.

Хорошо, $t$ легко выражается через $x$: $t=x$. Значит: $y'_x=2t=2x$.

Вычислим теперь эту производную, воспользовавшись явной функцией $f(x)$. Раннее мы установили, что $y=x^2$ и $f'(x)=2x$. Это совпадение и доказывает, что мы все делаем правильно.

Пример 2

$x=\varphi (t)=t^4$,

$y=\psi (t)=\sin t$

$t=x^{\frac{1}{4}}$

$y=\sin t=\sin \big({x^{\frac{1}{4}}}\big)$

$x'(t)=\varphi '(t)=4t^3$

$y'(t)=\psi' (t)=\cos t$

$y'_x=\frac{\psi' (t)}{\varphi '(t)}=\frac{1}{4}\frac{\cos t}{t^3}$

Подставим теперь сюда $t$ как функцию $x$:

$y'_x=\frac{1}{4}\frac{\cos \big(x^{\frac{1}{4}}\big)}{x^\frac{3}{4}}$

Теперь вычислим производную $y'(x)$ прямо:

$y'(x)=\frac{d}{dx}\sin \big({x^{\frac{1}{4}}}\big)=\cos (x^\frac{1}{4})\frac{d}{dx}x^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}\frac{\cos \big(x^\frac{1}{4}\big)}{x^\frac{3}{4}}$

Отлично, опять совпадение.

Пример 3

$x=\varphi (t)=a(t-\sin t)$,

$y=\psi (t)=a(1-\cos t)$,

$-\infty<t<\infty$

Здесь мы вычислим производную только первым способом.

$x'(t)=\varphi '(t)=a(1-\cos t)$

$y'(t)=\psi' (t)=a\sin t$

$y'_x=\frac{a\sin t}{a(1-\cos t)}=\ctg \frac{t}{2},\ \ \ \ \ t\neq 2\pi k, \ \ k \in Z$

Не получается самостоятельно разобраться с темой? Заказать написание статьи по математике!