Вычисление производных – одна из самых распространенных задач школьной и вузовской программ. Как минимум один вопрос на ЕГЭ будет связан с этой темой. Эксперты Студворк составили таблицу со списком формул для вашего удобства.
Таблица производных
| Функция | Производная |
|---|---|
|
f(x)=const f(x)=x f(x)=xn f(x)=1x f(x)=x f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=lnx f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=tgx f(x)=ctgx f(x)=secx f(x)=cosecx f(x)=shx f(x)=chx f(x)=thx f(x)=cthx Unexpected text node: 'sech ' Unexpected text node: 'csch ' f(x)=arcsinx f(x)=arccosx f(x)=arctgx f(x)=arcctgx Unexpected text node: 'arsh ' Unexpected text node: 'arch ' Unexpected text node: 'arth ' Unexpected text node: 'arcth ' Unexpected text node: 'arsech ' Unexpected text node: 'arcsch ' |
f′(x)=0 f′(x)=1 f′(x)=nxn−1 f′(x)=−1x2 f′(x)=12x f′(x)=axlna f′(x)=ex f′(x)=1xlna f′(x)=1x f′(x)=cosx f′(x)=−sinx f′(x)=1cos2x f′(x)=−1sin2x f′(x)=tgxsecx f′(x)=−ctgxcosecx f′(x)=chx f′(x)=shx Unexpected text node: 'sech' Unexpected text node: 'csch' Unexpected text node: ' sech ' Unexpected text node: ' csch ' f′(x)=11−x2 f′(x)=−11−x2 f′(x)=11+x2 f′(x)=−11+x2 f′(x)=1x2+1 f′(x)=1x2−1 f′(x)=11−x2∣x∣<1 f′(x)=11−x2∣x∣>1 f′(x)=−1x1−x2 f′(x)=−1∣x∣1+x2 |
Напомним определение производной функции y=f(x) в точке x∈D.
D — область определения функции f(x).
f′(x)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx
Докажем некоторые из производных и разберем примеры.
Производная от константы
f(x)=c
f′(x)=0
Для всех c=const
Доказательство
f′(x)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0c−cΔx=0
f(x)=1
f′(x)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→01−1Δx=0
Производная степенной функции
f(x)=xa
f′(x)=axa−1
a — вещественное число.
Доказательство
Начнем со случая, когда a=n, n — натуральное число.
Δy=(x+Δx)n−xn=
=Cn0xn+Cn1xn−1Δx+Cn2xn−2Δx2+...+Cnn−1xΔxn−1+CnnΔxn−xn=
=xn−xn+Cn1xn−1Δx+Cn2xn−2Δx2+...+Cnn−1xΔxn−1+CnnΔxn=
=Cn1xn−1Δx+Cn2xn−2Δx2+...+Cnn−1xΔxn−1+CnnΔxn=
=Δx(Cn1xn−1+Cn2xn−2Δx+...+Cnn−1xΔxn−2+CnnΔxn−1)
Здесь мы воспользовались тем, что n натуральное и разложили первое слагаемое по формуле бинома Ньютона. Затем привели подобные слагаемые (xn сократилось) и вынесли общий множитель Δx.
f′(x)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0Δx(Cn1xn−1+Cn2xn−2Δx+...+Cnn−1xΔxn−2+CnnΔxn−1)Δx
f′(x)=limΔx→0(Cn1xn−1+Cn2xn−2Δx+...+Cnn−1xΔxn−2+CnnΔxn−1)
f′(x)=Cn1xn−1=n!(n−1)!xn−1=nxn−1
Что и требовалось доказать.
Этот результат может быть обобщен на случай произвольного вещественного числа a.
f(x)=x3
f′(x)=3x2
f(x)=1x35
Первым делом преобразуем это выражение так, чтобы стало очевидно, что перед нами действительно степенная функция:
1x35=1x53=x−35
f′(x)=−35x−35−1=−35x−85
Производная показательной функции
f(x)=ax
f′(x)=axlna
a — вещественное число.
Следствие:
Пусть a=e, тогда:
f′(x)=exlne=ex
Поскольку по определению натурального логарифма: lne=1.
f(x)=(12)x
f′(x)=(12)xln12
Это выражение можно упростить, пользуясь свойствами логарифмов:
f′(x)=(12)xln12=(12)x(ln1−ln2)=(12)x(0−ln2)=−(12)xln2
Производная логарифмической функции
f(x)=logax
f′(x)=1xlna
Следствие:
Пусть a=e, тогда:
f′(x)=1xlne=1x
f(x)=log13ex
f′(x)=1xln(13e)
Здесь тоже можно воспользоваться свойствами логарифмов для упрощения результата:
f′(x)=1xln(13e)=1x(ln13+lne)=1x(ln13+1)
Не знаете, где заказать написание статьи по математике на заказ? Авторы Студворк к вашим услугам!
Комментарии