Вычисление производных – одна из самых распространенных задач школьной и вузовской программ. Как минимум один вопрос на ЕГЭ будет связан с этой темой. Эксперты Студворк составили таблицу со списком формул для вашего удобства.
Функция
Производная
f ( x ) = c o n s t f(x)=const f ( x ) = c o n s t
f ( x ) = x f(x)=x f ( x ) = x
f ( x ) = x n f(x)=x^n f ( x ) = x n
f ( x ) = 1 x f(x)=\frac{1}{x} f ( x ) = x 1
f ( x ) = x f(x)=\sqrt{x} f ( x ) = x
f ( x ) = a x f(x)=a^x f ( x ) = a x
f ( x ) = e x f(x)=e^x f ( x ) = e x
f ( x ) = log a x f(x)=\log_{a}x f ( x ) = log a x
f ( x ) = ln x f(x)=\ln x f ( x ) = ln x
f ( x ) = sin x f(x)=\sin x f ( x ) = sin x
f ( x ) = cos x f(x)=\cos x f ( x ) = cos x
f ( x ) = tg x f(x)=\tg x f ( x ) = tg x
f ( x ) = ctg x f(x)=\ctg x f ( x ) = ctg x
f ( x ) = sec x f(x)=\sec x f ( x ) = sec x
f ( x ) = cosec x f(x)=\cosec x f ( x ) = cosec x
f ( x ) = sh x f(x)=\sh x f ( x ) = sh x
f ( x ) = ch x f(x)=\ch x f ( x ) = ch x
f ( x ) = th x f(x)=\th x f ( x ) = th x
f ( x ) = cth x f(x)=\cth x f ( x ) = cth x
f ( x ) = sech x f(x)=\text{sech}\ x f ( x ) = sech x
f ( x ) = csch x f(x)=\text{csch}\ x f ( x ) = csch x
f ( x ) = arcsin x f(x)=\arcsin x f ( x ) = arcsin x
f ( x ) = arccos x f(x)=\arccos x f ( x ) = arccos x
f ( x ) = arctg x f(x)=\arctg x f ( x ) = arctg x
f ( x ) = arcctg x f(x)=\arcctg x f ( x ) = arcctg x
f ( x ) = arsh x f(x)=\text{arsh}\ x f ( x ) = arsh x
f ( x ) = arch x f(x)=\text{arch}\ x f ( x ) = arch x
f ( x ) = arth x f(x)=\text{arth}\ x f ( x ) = arth x
f ( x ) = arcth x f(x)=\text{arcth}\ x f ( x ) = arcth x
f ( x ) = arsech x f(x)=\text{arsech}\ x f ( x ) = arsech x
f ( x ) = arcsch x f(x)=\text{arcsch}\ x f ( x ) = arcsch x
f ′ ( x ) = 0 f'(x)=0 f ′ ( x ) = 0
f ′ ( x ) = 1 f'(x)=1 f ′ ( x ) = 1
f ′ ( x ) = n x n − 1 f'(x)=nx^{n-1} f ′ ( x ) = n x n − 1
f ′ ( x ) = − 1 x 2 f'(x)=-\frac{1}{x^2} f ′ ( x ) = − x 2 1
f ′ ( x ) = 1 2 x f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} f ′ ( x ) = 2 x 1
f ′ ( x ) = a x ln a f'(x)=a^x\ln a f ′ ( x ) = a x ln a
f ′ ( x ) = e x f'(x)=e^x f ′ ( x ) = e x
f ′ ( x ) = 1 x ln a f'(x)=\frac{1}{x\ln a} f ′ ( x ) = x ln a 1
f ′ ( x ) = 1 x f'(x)=\frac{1}{x} f ′ ( x ) = x 1
f ′ ( x ) = cos x f'(x)=\cos x f ′ ( x ) = cos x
f ′ ( x ) = − sin x f'(x)=-\sin x f ′ ( x ) = − sin x
f ′ ( x ) = 1 cos 2 x f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x} f ′ ( x ) = cos 2 x 1
f ′ ( x ) = − 1 sin 2 x f'(x)=-\frac{1}{\sin^2 x} f ′ ( x ) = − sin 2 x 1
f ′ ( x ) = tg x sec x f'(x)=\tg x\sec x f ′ ( x ) = tg x sec x
f ′ ( x ) = − ctg x cosec x f'(x)=-\ctg x\cosec x f ′ ( x ) = − ctg x cosec x
f ′ ( x ) = ch x f'(x)=\ch x f ′ ( x ) = ch x
f ′ ( x ) = sh x f'(x)=\sh x f ′ ( x ) = sh x
f ′ ( x ) = sech2 x f'(x)=\text{sech}^2 x f ′ ( x ) = sech 2 x
f ′ ( x ) = − csch2 x f'(x)=-\text{csch}^2 x f ′ ( x ) = − csch 2 x
f ′ ( x ) = − th x sech x f'(x)=-\th x\ \text{sech}\ x f ′ ( x ) = − th x sech x
f ′ ( x ) = − cth x csch x f'(x)=-\cth x\ \text{csch}\ x f ′ ( x ) = − cth x csch x
f ′ ( x ) = 1 1 − x 2 f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} f ′ ( x ) = 1 − x 2 1
f ′ ( x ) = − 1 1 − x 2 f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} f ′ ( x ) = − 1 − x 2 1
f ′ ( x ) = 1 1 + x 2 f'(x)=\frac{1}{1+x^2} f ′ ( x ) = 1 + x 2 1
f ′ ( x ) = − 1 1 + x 2 f'(x)=-\frac{1}{1+x^2} f ′ ( x ) = − 1 + x 2 1
f ′ ( x ) = 1 x 2 + 1 f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} f ′ ( x ) = x 2 + 1 1
f ′ ( x ) = 1 x 2 − 1 f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}} f ′ ( x ) = x 2 − 1 1
f ′ ( x ) = 1 1 − x 2 ∣ x ∣ < 1 f'(x)=\frac{1}{1-x^2}\ \ \ \ \ \ \ |x|<1 f ′ ( x ) = 1 − x 2 1 ∣ x ∣ < 1
f ′ ( x ) = 1 1 − x 2 ∣ x ∣ > 1 f'(x)=\frac{1}{1-x^2}\ \ \ \ \ \ \ |x|>1 f ′ ( x ) = 1 − x 2 1 ∣ x ∣ > 1
f ′ ( x ) = − 1 x 1 − x 2 f'(x)=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}} f ′ ( x ) = − x 1 − x 2 1
f ′ ( x ) = − 1 ∣ x ∣ 1 + x 2 f'(x)=-\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}} f ′ ( x ) = − ∣ x ∣ 1 + x 2 1
Напомним определение производной функции y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) x ∈ D x\in D x ∈ D
D D D f ( x ) f(x) f ( x )
f ′ ( x ) = lim Δ x → 0 Δ y Δ x = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x f'(x)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} f ′ ( x ) = Δ x → 0 lim Δ x Δ y = Δ x → 0 lim Δ x f ( x + Δ x ) − f ( x )
Докажем некоторые из производных и разберем примеры.
f ( x ) = c f(x)=c f ( x ) = c
f ′ ( x ) = 0 f'(x)=0 f ′ ( x ) = 0
Для всех c = c o n s t c=const c = c o n s t
Доказательство
f ′ ( x ) = lim Δ x → 0 Δ y Δ x = lim Δ x → 0 c − c Δ x = 0 f'(x)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{c-c}{\Delta x}=0 f ′ ( x ) = Δ x → 0 lim Δ x Δ y = Δ x → 0 lim Δ x c − c = 0
f ( x ) = 1 f(x)=1 f ( x ) = 1
f ′ ( x ) = lim Δ x → 0 Δ y Δ x = lim Δ x → 0 1 − 1 Δ x = 0 f'(x)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1-1}{\Delta x}=0 f ′ ( x ) = Δ x → 0 lim Δ x Δ y = Δ x → 0 lim Δ x 1 − 1 = 0
f ( x ) = x a f(x)=x^a f ( x ) = x a
f ′ ( x ) = a x a − 1 f'(x)=ax^{a-1} f ′ ( x ) = a x a − 1
a a a
Доказательство
Начнем со случая, когда a = n a=n a = n n n n
Δ y = ( x + Δ x ) n − x n = \Delta y={(x+\Delta x)}^n-x^n= Δ y = ( x + Δ x ) n − x n =
= C n 0 x n + C n 1 x n − 1 Δ x + C n 2 x n − 2 Δ x 2 + . . . + C n n − 1 x Δ x n − 1 + C n n Δ x n − x n = =C^0_nx^n+C^1_nx^{n-1}\Delta x+C^2_nx^{n-2}{\Delta x}^2+...+C_n^{n-1}x{\Delta x}^{n-1}+C_n^n{\Delta x}^n-x^n= = C n 0 x n + C n 1 x n − 1 Δ x + C n 2 x n − 2 Δ x 2 + . . . + C n n − 1 x Δ x n − 1 + C n n Δ x n − x n =
= x n − x n + C n 1 x n − 1 Δ x + C n 2 x n − 2 Δ x 2 + . . . + C n n − 1 x Δ x n − 1 + C n n Δ x n = =x^n-x^n+C^1_nx^{n-1}\Delta x+C^2_nx^{n-2}{\Delta x}^2+...+C_n^{n-1}x{\Delta x}^{n-1}+C_n^n{\Delta x}^n= = x n − x n + C n 1 x n − 1 Δ x + C n 2 x n − 2 Δ x 2 + . . . + C n n − 1 x Δ x n − 1 + C n n Δ x n =
= C n 1 x n − 1 Δ x + C n 2 x n − 2 Δ x 2 + . . . + C n n − 1 x Δ x n − 1 + C n n Δ x n = =C^1_nx^{n-1}\Delta x+C^2_nx^{n-2}{\Delta x}^2+...+C_n^{n-1}x{\Delta x}^{n-1}+C_n^n{\Delta x}^n= = C n 1 x n − 1 Δ x + C n 2 x n − 2 Δ x 2 + . . . + C n n − 1 x Δ x n − 1 + C n n Δ x n =
= Δ x ( C n 1 x n − 1 + C n 2 x n − 2 Δ x + . . . + C n n − 1 x Δ x n − 2 + C n n Δ x n − 1 ) =\Delta x(C^1_nx^{n-1}+C_n^2x^{n-2}\Delta x+...+C_n^{n-1}x{\Delta x}^{n-2}+C_n^n{\Delta x}^{n-1}) = Δ x ( C n 1 x n − 1 + C n 2 x n − 2 Δ x + . . . + C n n − 1 x Δ x n − 2 + C n n Δ x n − 1 )
Здесь мы воспользовались тем, что n n n x n x^n x n Δ x \Delta x Δ x
f ′ ( x ) = lim Δ x → 0 Δ y Δ x = lim Δ x → 0 Δ x ( C n 1 x n − 1 + C n 2 x n − 2 Δ x + . . . + C n n − 1 x Δ x n − 2 + C n n Δ x n − 1 ) Δ x f'(x)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta x(C^1_nx^{n-1}+C_n^2x^{n-2}\Delta x+...+C_n^{n-1}x{\Delta x}^{n-2}+C_n^n{\Delta x}^{n-1})}{\Delta x} f ′ ( x ) = Δ x → 0 lim Δ x Δ y = Δ x → 0 lim Δ x Δ x ( C n 1 x n − 1 + C n 2 x n − 2 Δ x + . . . + C n n − 1 x Δ x n − 2 + C n n Δ x n − 1 )
f ′ ( x ) = lim Δ x → 0 ( C n 1 x n − 1 + C n 2 x n − 2 Δ x + . . . + C n n − 1 x Δ x n − 2 + C n n Δ x n − 1 ) f'(x)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}(C^1_nx^{n-1}+C_n^2x^{n-2}\Delta x+...+C_n^{n-1}x{\Delta x}^{n-2}+C_n^n{\Delta x}^{n-1}) f ′ ( x ) = Δ x → 0 lim ( C n 1 x n − 1 + C n 2 x n − 2 Δ x + . . . + C n n − 1 x Δ x n − 2 + C n n Δ x n − 1 )
f ′ ( x ) = C n 1 x n − 1 = n ! ( n − 1 ) ! x n − 1 = n x n − 1 f'(x)=C^1_nx^{n-1}=\frac{n!}{(n-1)!}x^{n-1}=nx^{n-1} f ′ ( x ) = C n 1 x n − 1 = ( n − 1 ) ! n ! x n − 1 = n x n − 1
Что и требовалось доказать.
Этот результат может быть обобщен на случай произвольного вещественного числа a a a
f ( x ) = x 3 f(x)=x^3 f ( x ) = x 3
f ′ ( x ) = 3 x 2 f'(x)=3x^2 f ′ ( x ) = 3 x 2
f ( x ) = 1 x 3 5 f(x)=\frac{1}{\sqrt[5]{x^3}} f ( x ) = 5 x 3 1
Первым делом преобразуем это выражение так, чтобы стало очевидно, что перед нами действительно степенная функция:
1 x 3 5 = 1 x 3 5 = x − 3 5 \frac{1}{\sqrt[5]{x^3}}=\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}=x^{-\frac{3}{5}} 5 x 3 1 = x 5 3 1 = x − 5 3
f ′ ( x ) = − 3 5 x − 3 5 − 1 = − 3 5 x − 8 5 f'(x)=-\frac{3}{5}x^{-\frac{3}{5}-1} = -\frac{3}{5}x^{-\frac{8}{5}} f ′ ( x ) = − 5 3 x − 5 3 − 1 = − 5 3 x − 5 8
f ( x ) = a x f(x)=a^x f ( x ) = a x
f ′ ( x ) = a x ln a f'(x)=a^x\ln a f ′ ( x ) = a x ln a
a a a
Следствие:
Пусть a = e a=e a = e
f ′ ( x ) = e x ln e = e x f'(x)=e^x\ln e=e^x f ′ ( x ) = e x ln e = e x
Поскольку по определению натурального логарифма: ln e = 1 \ln e=1 ln e = 1
f ( x ) = ( 1 2 ) x f(x)=\big(\frac{1}{2}\big)^x f ( x ) = ( 2 1 ) x
f ′ ( x ) = ( 1 2 ) x ln 1 2 f'(x)=\big(\frac{1}{2}\big)^x\ln \frac{1}{2} f ′ ( x ) = ( 2 1 ) x ln 2 1
Это выражение можно упростить, пользуясь свойствами логарифмов:
f ′ ( x ) = ( 1 2 ) x ln 1 2 = ( 1 2 ) x ( ln 1 − ln 2 ) = ( 1 2 ) x ( 0 − ln 2 ) = − ( 1 2 ) x ln 2 f'(x)=\Big(\frac{1}{2}\Big)^x\ln \frac{1}{2}=\Big(\frac{1}{2}\Big)^x(\ln 1-\ln 2)=\Big(\frac{1}{2}\Big)^x(0-\ln 2)=-\Big(\frac{1}{2}\Big)^x\ln 2 f ′ ( x ) = ( 2 1 ) x ln 2 1 = ( 2 1 ) x ( ln 1 − ln 2 ) = ( 2 1 ) x ( 0 − ln 2 ) = − ( 2 1 ) x ln 2
f ( x ) = log a x f(x)=\log_a x f ( x ) = log a x
f ′ ( x ) = 1 x ln a f'(x)=\frac{1}{x\ln a} f ′ ( x ) = x ln a 1
Следствие:
Пусть a = e a=e a = e
f ′ ( x ) = 1 x ln e = 1 x f'(x)=\frac{1}{x\ln e}=\frac{1}{x} f ′ ( x ) = x ln e 1 = x 1
f ( x ) = log 13 e x f(x)=\log_{13e}x f ( x ) = log 1 3 e x
f ′ ( x ) = 1 x ln ( 13 e ) f'(x)=\frac{1}{x\ln(13e)} f ′ ( x ) = x ln ( 1 3 e ) 1
Здесь тоже можно воспользоваться свойствами логарифмов для упрощения результата:
f ′ ( x ) = 1 x ln ( 13 e ) = 1 x ( ln 13 + ln e ) = 1 x ( ln 13 + 1 ) f'(x)=\frac{1}{x\ln(13e)}=\frac{1}{x(\ln 13 +\ln e)}=\frac{1}{x(\ln 13+1)} f ′ ( x ) = x ln ( 1 3 e ) 1 = x ( ln 1 3 + ln e ) 1 = x ( ln 1 3 + 1 ) 1
Комментарии