Понятие интеграла

На практике часто приходится решать задачи следующих типов:

• найти площадь под кривой;
• вычислить массу неоднородного тела;
• рассчитать длину пути при неравномерном движении.

Именно их решение привело к возникновению целого раздела математического анализа, именуемого интегральным исчислением. В его основе лежит понятие интеграла.

Рассмотрим пример функции вида $y=f(x)$ и ее график:

Под кривой $f(x)$ имеем фигуру, ограниченную осью $x$, линиями $x=a$ и $x=b$ (заштрихованная фигура). Необходимо найти ее площадь. Если координаты точек $a$ и $b$ известны, то площадь $S$ находится при помощи определенного интеграла. В этом состоит геометрический смысл данного понятия.

Определенный интеграл

Это число, значение которого зависит от вида функции $y=f(x)$ и пределов интегрирования.

Запись определенного интеграла

$\int\limits^b_af(x)dx$

$a$ и $b$ – пределы интегрирования ($a$ – нижний, $b$ – верхний),

$f(x)$ – подынтегральная функция,

$x$ – переменная интегрирования.

Для вычисления определенного интеграла используют формулу Ньютона-Лейбница:

$S=\int\limits^b_af(x)dx=F(x)\big|^{b}_{a}=F(b)-F(a)$

$F(x)$ – это первообразная для функции $f(x)$ на отрезке $x$, где любое значение $x$ принадлежит этому отрезку.

Подставляя в формулу значения $a$ и $b$, получаем два числовых значения, разница которых и будет равна площади фигуры под кривой функции. Неопределенным интегралом функции вида $f(x)$ является совокупность всех ее первообразных. Когда функция определена и непрерывна на некоем промежутке $(a,b)$, а функция $F(x)$ является ее первообразной, т. е.

$F'(x)=f(x)$, при $x∈(a,b)$,

тогда

$\int f(x)dx=F(x)+C,$

имея в виду, что $C$ – некая произвольная постоянная.

Для решения практических задач специально созданы таблицы, в которых вынесены решения самых распространенных функций в виде формул. Эти формулы используются для вычислений.

Задача 1

Необходимо вычислить интеграл:

$\int\limits_0^{\sqrt3}\frac{12x^5}{\sqrt {x ^6 + 1}}dx$

Решение

Используем для данного случая способ занесения под дифференциал:

$\int\limits^{\sqrt3}_{0}\frac{12x^5}{\sqrt {x ^6 + 1}}dx =$
$=\frac{1}{6}\int\limits^{\sqrt3}_{0}\frac{12}{\sqrt {x ^6 + 1}}d(x^6) =$
$=2\int\limits^{\sqrt3}_{0} (x^6 +1)^{-\frac{1}{2}}d (x^6 +1) =$
$=4 \sqrt {x^6 + 1}\big|_0^{\sqrt{3}} =$
$= 4 \sqrt {( \sqrt {3})^6 +1} - 4 = 4\sqrt {28} - 4=8\sqrt{7}-4$

Задача 2

С помощью определенного интеграла нужно найти площадь фигуры, ограниченной линиями: $x=0$, $x=\pi$, $y=0$, $y=\sin x.$

Решение.
Чертеж выглядит следующим образом:

В данном случае, если обратиться к стандартной формуле:

$S= \int\limits^{b}_{a}f(x)dx = F (x) \big| _a^b = F(b) - F(A),$

то $a=0$, $b=\pi$, $f(x)=\sin x.$

Выполняем подстановку:

$S= \int\limits^{\pi}_{0} \sin x\ dx = - (\cos x)\big|_0^{\pi} = - \cos \pi - (- \cos 0) = -(-1) + 1 =2.$

Нужна работа по низкой цене? У нас вы можете заказать статью по математике недорого!

Тест по теме “Понятие интеграла”