Производная функции

Производной функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента $\Delta x$ при $\Delta x→0$ (при условии существования данного предела).

Онлайн-калькулятор

Пусть задана функция $y = f(x)$. Выберем любую точку $x_0$ из области определения $D$ этой функции. Приращение аргумента функции в точке $x_0$:
$\Delta x$ такое, что $x_0 + \Delta x\in D$.
Тогда $\Delta y =f (x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

Пример

Пусть $f(x) = x^3$, $x_0=5$, $\Delta x =1$.
Вычислим $\Delta y$:
$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (5+1)^3 - 5^3 = 216 - 125 = 91$

Обозначение производной функции

Производная функции в точке $x=x_0$ обозначается как $f'(x_0)$:

$f'(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x→0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle\lim_{\Delta x→0} \frac{f (x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Пусть для некоторого $x_0:f'(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x→0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = ±∞$.

В этом случае $f(x)$ имеет в точке $x_0$ бесконечную производную.

Задача 1

Вычислим производную $f(x) = x^2$ в точке $x = x_0$.

Снабдим аргумент $x$ в точке $x_0$ приращением $\Delta x$:

$\Delta y= f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) =(x_0 + \Delta x)^2 - x_0^2 = x_0^2 +2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - x_0^2 =$
$=2x_0\Delta x + (\Delta x)^2$

Отсюда:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{2x_0\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} =\frac{\Delta x(2x_0 + \Delta x)}{\Delta x} =2x_0 + \Delta x$

Найдем предел этого отношения, устремив $\Delta x$ к нулю:
$\displaystyle\lim_{\Delta x→0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = 2x_0 + 0 = 2x_0$

$f'(x_0) = 2x_0$

Односторонние производные

Правой производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ называется предельное значение отношения $\Delta y$ к $\Delta x$ при $\Delta x→0+$, если данный предел существует.
Левой производной называется предельное значение того же отошения при $\Delta x→0-$
Обозначается как $f'_+(x_0)$ и $f'_- (x_0)$.

$f'_+(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x→0+}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle\lim_{\Delta x→0+}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

$f'_-(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x→0-}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle\lim_{\Delta x→0-}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Напомним, что $\Delta x→0+$ и $\Delta x→0-$ обозначают соответственно: $\Delta x→0$, $\Delta x>0$ и $\Delta x→0$, $\Delta x<0$

Правую и левую производные называют односторонними.

Из того, что $f(x)$ имеет производную в точке $x_0$, следует: $f(x)$ имеет в этой точке равные правую и левую производные. Из существования односторонних производных в точке не следует, что в ней имеется производная.

Пример

Рассмотрим функцию $f(x) = |x|$. Возьмем $x_0 = 0$ Тогда $f'_+(0) = 1$, $f'_- (0) = -1$. Правая и левая производные существуют в точке $x_0=0$, но их значения не одинаковы, поэтому производной в $x_0$ = 0 не существует.

Научная статья по математике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!