Производной функции y=f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента Δx при Δx→0 (при условии существования данного предела).
Онлайн-калькулятор
Пусть задана функция y=f(x). Выберем любую точку x0 из области определения D этой функции. Приращение аргумента функции в точке x0:
Δx такое, что x0+Δx∈D.
Тогда Δy=f(x0+Δx)−f(x0).
Пусть f(x)=x3, x0=5, Δx=1.
Вычислим Δy:
Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=(5+1)3−53=216−125=91
Обозначение производной функции
Производная функции в точке x=x0 обозначается как f′(x0):
f′(x0)=Δx→0limΔxΔy=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)
Пусть для некоторого x0:f′(x0)=Δx→0limΔxΔy=±∞.
В этом случае f(x) имеет в точке x0 бесконечную производную.
Вычислим производную f(x)=x2 в точке x=x0.
Снабдим аргумент x в точке x0 приращением Δx:
Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=(x0+Δx)2−x02=x02+2x0Δx+(Δx)2−x02=
=2x0Δx+(Δx)2
Отсюда:
ΔxΔy=Δx2x0Δx+(Δx)2=ΔxΔx(2x0+Δx)=2x0+Δx
Найдем предел этого отношения, устремив Δx к нулю:
Δx→0limΔxΔy=2x0+0=2x0
f′(x0)=2x0
Односторонние производные
Правой производной функции f(x) в точке x0 называется предельное значение отношения Δy к Δx при Δx→0+, если данный предел существует.
Левой производной называется предельное значение того же отошения при Δx→0−
Обозначается как f+′(x0) и f−′(x0).
f+′(x0)=Δx→0+limΔxΔy=Δx→0+limΔxf(x0+Δx)−f(x0)
f−′(x0)=Δx→0−limΔxΔy=Δx→0−limΔxf(x0+Δx)−f(x0)
Напомним, что Δx→0+ и Δx→0− обозначают соответственно: Δx→0, Δx>0 и Δx→0, Δx<0
Правую и левую производные называют односторонними.
Из того, что f(x) имеет производную в точке x0, следует: f(x) имеет в этой точке равные правую и левую производные. Из существования односторонних производных в точке не следует, что в ней имеется производная.
Рассмотрим функцию f(x)=∣x∣. Возьмем x0=0 Тогда f+′(0)=1, f−′(0)=−1. Правая и левая производные существуют в точке x0=0, но их значения не одинаковы, поэтому производной в x0 = 0 не существует.