Производная функции

Производной функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента $\Delta x$ при $\Delta x→0$ (при условии существования данного предела).

Онлайн-калькулятор

Пусть задана функция $y = f(x)$. Выберем любую точку $x_0$ из области определения $D$ этой функции. Приращение аргумента функции в точке $x_0$:
$\Delta x$ такое, что $x_0 + \Delta x\in D$.
Тогда $\Delta y =f (x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

Обозначение производной функции

Производная функции в точке $x=x_0$ обозначается как $f'(x_0)$:

$f'(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x→0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle\lim_{\Delta x→0} \frac{f (x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Пусть для некоторого $x_0:f'(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x→0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = ±∞$.

В этом случае $f(x)$ имеет в точке $x_0$ бесконечную производную.

Односторонние производные

Правой производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ называется предельное значение отношения $\Delta y$ к $\Delta x$ при $\Delta x→0+$, если данный предел существует.
Левой производной называется предельное значение того же отошения при $\Delta x→0-$
Обозначается как $f'_+(x_0)$ и $f'_- (x_0)$.

$f'_+(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x→0+}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle\lim_{\Delta x→0+}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

$f'_-(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x→0-}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle\lim_{\Delta x→0-}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Напомним, что $\Delta x→0+$ и $\Delta x→0-$ обозначают соответственно: $\Delta x→0$, $\Delta x>0$ и $\Delta x→0$, $\Delta x<0$

Правую и левую производные называют односторонними.

Из того, что $f(x)$ имеет производную в точке $x_0$, следует: $f(x)$ имеет в этой точке равные правую и левую производные. Из существования односторонних производных в точке не следует, что в ней имеется производная.