Правила вычисления производных

В этой статье мы разберем те правила, которые необходимы при дифференцировании, то есть при взятии производных от любой функции. Эти правила вместе с таблицей производных позволят продифференцировать почти все что угодно. Например, вы без труда возьмете производную от такой функции:

$y(x)=e^{\sin (x)\ln (x)}-\ln (5x+3x^3)+\tg \Big(\frac{10x\cos (3x)+e^{-x^2}}{\sqrt{x^4+3}}\Big)$

Вообще операция дифференцирования проста и понятна. Нужно просто следовать некоторым правилам – правилам вычисления производных. Прежде чем мы приступим непосредственно к теме, нужно сказать, что здесь будут использваться два разных обозначения для производной. Если у нас есть функция $y=f(x)$, то ее производную по аргументу $x$ мы будем обозначать $y'=f'(x)$ или как $y'=\frac{df(x)}{dx}$. Это нужно для того, чтобы вы привыкли к этим обозначениям, так как они используются очень часто.

Линейные операции

Вынесение постоянного множителя из производной

Рассмотрим некоторую функцию $y=f(x)$, умноженную на любое число $\alpha$. Чему равна производная функции $\alpha f(x)$? Оказывается, мы можем просто вынести постоянное число $\alpha$ и дифференцировать только функцию $f(x)$.

Вынесение постоянного множителя

$(\alpha f(x))'=\alpha(f(x))'=\alpha f'(x)=\frac{d}{dx}\Big(\alpha f(x)\Big)=\alpha\frac{df(x)}{dx}$

Числовой множитель можно вынести за знак производной.

Производная суммы и разности функций

Представим себе, что у нас есть две функции: $y_1=f_1(x)$ и $y_2=f_2(x)$. Зададимся вопросом о производной функции $y$, которой является суммой $y_1$ и $y_2$. Правило гласит:

Производная суммы двух функций

$y'=(y_1+y_2)'=y_1'+y_2'$

или

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(f_1(x)+f_2(x))=\frac{df_1(x)}{dx}+\frac{df_2(x)}{dx}$

Производная от суммы двух функций равна сумме производных от этих функций.

Это правило можно распространить на случай любого числа $n$ слагаемых функций.

Производная суммы любого числа функций

$\frac{d}{dx}(f_1(x)+f_2(x)+f_3(x)+...+f_n(x))=\frac{df_1(x)}{dx}+\frac{df_2(x)}{dx}+\frac{df_3(x)}{dx}+...+\frac{df_n(x)}{dx}$

Производная суммы равна сумме производных.

Эти два правила означают, что дифференцирование – это линейная операция. Зная правила, мы можем сказать, чему равна производная от разности двух функций. Рассмотрим разность функций $f_1(x)$ и $f_2(x)$: $f_1(x)-f_2(x)$. Но мы ведь можем представить ее в таком виде:

$f_1(x)-f_2(x)=f_1(x)+(-1)f_2(x)$

То есть $(-1)$ выступает у нас в качестве множителя. Найдем теперь производную этого выражения, пользуясь нашими двумя правилами и получим правило дифференцирования разности двух функций.

Производная разности двух функций

$\frac{d}{dx}(f_1(x)-f_2(x))=\frac{d}{dx}(f_1(x)+(-1)f_2(x))=\frac{df_1(x)}{dx}+(-1)\frac{df_2(x)}{dx}=\frac{df_1(x)}{dx}-\frac{df_2(x)}{dx}$

Производная разности двух функций равна разности производных этих функций.

Можно было сказать об этом сразу, но мы это правило «вывели», используя то, что нам уже было известно. Кстати, очевидно, что правило дифференцирования разности двух функций можно обобщить на случай любого числа функций, как мы это сделали со сложением.

Произведение и частное функций

Производная произведения функций

Займемся теперь вопросом поинтереснее. Попробуем найти производную от произведения нескольких функций. Начнем с произведения двух функций. То есть пусть:

$y=f_1(x)f_2(x)$

Чему равно $y'$? На первый взгляд хочется провести аналогию с производной суммы. То есть, что: $y'=f_1'(x)f_2'(x)$. Но это неправильно. На деле все обстоит несколько сложнее. Правило такое:

Производная произведения двух функций

$\frac{d}{dx}[f_1(x)f_2(x)]=f_1'(x)f_2(x)+f_1(x)f_2'(x)$

Сначала берем производную от первой функции $f_1(x)$ и умножаем на вторую, потом прибавляем к этому производную от второй функции $f_2(x)$, умноженную на первую функцию. Симметрия на лицо. Эту формулу можно получить, воспользовавшись определением производной через предельный переход. Давайте теперь разберемся, как будут обстоять дела с произведением нескольких функций. Пусть:

$y=f_1(x)f_2(x)f_3(x)...f_n(x)$

Можно догадаться, что будет в этом случае. Будет $n$ членов слагаемых и в каждом будет производная от какой-то одной функции, умноженная на все другие функции. То есть в каждом слагаемом будет каждый раз производная от новой функции.

Производная произведения любого числа функций

$[f_1(x)f_2(x)f_3(x)...f_n(x)]'=$
$=f_1'(x)f_2(x)f_3(x)...f_n(x)+f_1(x)f_2'(x)f_3(x)...f_n(x)+$
$+f_1(x)f_2(x)f_3'(x)...f_n(x)+...+f_1(x)f_2(x)f_3(x)...f_n'(x)$

Производная частного функций

И наконец, приведем формулу для производной от частного двух функций. Если:

$y=\frac{f_1(x)}{f_2(x)}$

то:

Производная частного двух функций

$y'=\frac{f_1'(x)f_2(x)-f_1(x)f_2'(x)}{(f_2(x))^2}$

Здесь нужно запомнить, что знак минус стоит перед тем членом, где берется производная от знаменателя функции. Интересно, что формулу для производной частного двух функций можно получить из формулы для произведения двух функций. Для этого представим частное так:

$y=\frac{f_1(x)}{f_2(x)}=f_1(x)(f_2(x))^{-1}$

Теперь у нас есть произведение и можно пользоваться соответствующим правилом. Но для этого нам нужно знать, как вычисляется производная от сложной функции. Обратите внимание, сложной функцией здесь будет $(f_2(x))^{-1}$. Правило вычисления производной сложной функции можно было бы назвать заключительным для этой статьи. Теперь все правила дифференцирования перечислены и можно приступать непосредственно к примерам. Рассмотрим один из них, который бы иллюстрировал все приведенные здесь правила.

Пример

Пример

$y=5x\sin x-\frac{\ln x}{e^x}$

Пользуясь приведенными правилами вычисления производных, найдем производную даной функции:

$y'=5(x\sin x)'-\Big(\frac{\ln x}{e^x}\Big)'=5(x'\sin x+x(\sin x)')-\frac{(\ln x)'e^x-\ln x(e^x)'}{(e^x)^2}=$

$=5(\sin x+x\cos x)-\frac{e^x/x-e^x\ln x}{e^{2x}}$

Вы должны сами проследить, на каком этапе мы использовали то или иное правило дифференцирования. Ну и конечно, нужно всегда помнить о таблице производных элементарных функций.

Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!