Теория чисел и элементы криптографии (Контрольная №3, Числовые сравнения)
Задача №1. Укажите возможные значения модуля m в сравнении x ≡ 7(mod m), если известно, что этому сравнению удовлетворяют:
а) x = 25; б) x = 7; в) x = 18; г) x = -3; д) x = -30.
Задача №2. Покажите, что если n - нечетное число, то n^4- 1 ≡ 0(mod 16).
Задача №3. Докажите, что если
а) 3^n ≡ -1(mod 10), то 3^(n+4) ≡ -1(mod 10)
б) 2^n ≡ 1(mod 13), то 2^(n+12) ≡ 1(mod 13).
Задача №4. Докажите, что 2^(11∙31) ≡ 2(mod 1131).
Задача №5. Найти остаток от деления 〖(〖12371〗^56 + 34) 〗^28 на 111.
Задача №6. Какому необходимому условию должны удовлетворять целые t, чтобы выполнялось сравнение 5t ≡ 3b (mod 6m).
Задача №7. Показать, что если 100а + 10b +с ≡ 0(mod 21), то a - 2b +4c ≡ 0(mod 21).
Задача №8. Проверить, что 3^14 ≡ -1(mod 29).
Задача №9. Найти остаток от деления 〖1532〗^5 – 1 на 9.
Задача №1. Укажите возможные значения модуля m в сравнении x ≡ 7(mod m), если известно, что этому сравнению удовлетворяют:
а) x = 25; б) x = 7; в) x = 18; г) x = -3; д) x = -30.
Задача №2. Покажите, что если n - нечетное число, то n^4- 1 ≡ 0(mod 16).
Задача №3. Докажите, что если
а) 3^n ≡ -1(mod 10), то 3^(n+4) ≡ -1(mod 10)
б) 2^n ≡ 1(mod 13), то 2^(n+12) ≡ 1(mod 13).
Задача №4. Докажите, что 2^(11∙31) ≡ 2(mod 1131).
Задача №5. Найти остаток от деления 〖(〖12371〗^56 + 34) 〗^28 на 111.
Задача №6. Какому необходимому условию должны удовлетворять целые t, чтобы выполнялось сравнение 5t ≡ 3b (mod 6m).
Задача №7. Показать, что если 100а + 10b +с ≡ 0(mod 21), то a - 2b +4c ≡ 0(mod 21).
Задача №8. Проверить, что 3^14 ≡ -1(mod 29).
Задача №9. Найти остаток от деления 〖1532〗^5 – 1 на 9.
