Напомним определение матрицы.
Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, в которой строк и столбцов.
Рассмотрим два специальных вида матриц: вектор-строка и вектор-столбец.
Пусть . Тогда матрица называется вектор-строкой. Число будет называться длиной вектора-строки:
Пусть . Тогда матрица называется вектор-столбцом. Число будет называться высотой вектора-столбца:
В случае и получаем одноэлементную матрицу , которую отождествляем с самим числом . В качестве примера: .
Операция транспонирования превращает вектор-строку в вектор-столбец и наоборот.
Если эту матрицу транспонировать, то есть заменить строки на столбцы, то получим:
Теперь рассмотрим операции над вектор-строками и вектор-столбцами.
Сложение
Очевидно, что к одному вектору-столбцу высотой можно прибавить другой той же высоты, а к вектору-строке длиной можно прибавить другую той же длины и получить новый вектор-столбец или вектор-строку соответственно.
Из правила сложения матриц следует, что вектор-строку к вектору-столбцу прибавить нельзя.
Умножение
Напомним, что умножение матриц в общем случае не коммутативно.
Рассмотрим произвольную матрицу:
Мы можем умножить ее на вектор-столбец по обычному правилу умножения матриц: количество столбцов в матрице должно равняться количеству строк вектора-столбца.
Аналогично можно умножить вектор строку на матрицу. Главное, чтобы длина этой строки (количество столбцов) равнялось числу строк матрицы.
Рассмотрим произвольные вектор-столбец и вектор-строку. Нас интересует, в каком случае их можно перемножить между собой.
Можно выполнить умножение вектора-строки на вектор-столбец, если длина строки равна высоте столбца. Это очевидным образом следует из общего правила умножения матриц. Результатом будет одноэлементная матрица, которой, как было сказано выше, ставится в соответствие просто число.
Можно выполнить умножение на . Результатом будет квадратная матрица размером (или, что то же самое, , поскольку эти параметры одинаковы).
Вектор-строку и вектор-столбец, как и любую матрицу, можно умножить на произвольное число . Для этого нужно все элементы вектора-строки или вектора-столбца умножить на это число.
Заказать статью по математике у экспертов биржи Студворк!
Комментарии