Наибольшим или наименьшим значением функции в определенной области называют наибольшее или наименьшее значение, которое достигает эта функция на указанной области.
Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции в данной области, нужно решить задачу на экстремум, то есть найти производную заданной функции, приравнять её к нулю и найти точки, в которых производная функции обращается в нуль. Потом из этих точек нужно выбрать только те, которые входят в нашу заданную область. Затем нужно вычислить значение функций в этих точках. Кроме этого, нужно найти значение функции в граничных точках заданной области (если это отрезок) и сравнить их со значениями в точках экстремума. Потом можно сделать вывод о наименьшем или наибольшем значении функции в данной области.
Определить наименьшее и наибольшее значения функции y=x3−6x2+9 на отрезке [−1;2].
Решение
Сначала вычисляем производную исходной функции:
y′=3x2−12x
Затем приравниваем ее к нулевому значению и решаем уравнение:
3x2−12x=0
x(3x−12)=0
x1=0
x2=4
Затем — непосредственный поиск максимального и минимального значений функции на заданном отрезке. Важно отметить, что точка x=4 не входит в заданный отрезок, поэтому значение функции в этой точке вычислять не требуется.
Находим значение функции в точке x1:
f(0)=9
Кроме этого, нужно найти значение функции в граничных точках нашего отрезка, то есть в точках x=−1 и x=2:
f(−1)=−1−6+9=2
f(2)=8−24+9=−7
Получаем, что на заданном отрезке, наименьшее значение функции, которое равно −7, достигается в точке x=2 , а наибольшее значение, равное 9, достигается в точке x=0.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции-параболы y=3x2 на всей области её определения.
Решение
Функция y=3x2 определена на всем интервале от минус бесконечности к плюс бесконечности. Найдем производную этой функции:
y′=6x
Приравниваем производную к нулю:
6x=0
x=0
Точка x=0 — единственный экстремум этой функции. В этой точке функция равна f(0)=0. Остается решить максимум это или минимум.
Так как график нашей функции это парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку 3>0), то точка x=0 — точка минимума этой функции. Следовательно, функция y=3x2 достигает своего минимального значения в точке x=0 равного 0. Максимального значения эта функция не имеет. Оно только приближается к сколь угодно большому числу когда значение аргумента стремится к плюс или минус бесконечности.
Вы можете заказать написание статьи по математике для публикации на Студворк!
Комментарии