Наибольшие и наименьшие значения функции

Определить наименьшее и наибольшее значения функции $y=x^3-6x^2+9$ на отрезке $[-1;2]$.

Решение

Сначала вычисляем производную исходной функции:

$y'=3x^2-12x$

Затем приравниваем ее к нулевому значению и решаем уравнение:

$3x^2-12x=0$

$x(3x-12)=0$

$x_1=0$

$x_2=4$

Затем — непосредственный поиск максимального и минимального значений функции на заданном отрезке. Важно отметить, что точка $x=4$ не входит в заданный отрезок, поэтому значение функции в этой точке вычислять не требуется.

Находим значение функции в точке $x_1$:

$f(0)=9$

Кроме этого, нужно найти значение функции в граничных точках нашего отрезка, то есть в точках $x=-1$ и $x=2$:

$f(-1)=-1-6+9=2$

$f(2)=8-24+9=-7$

Получаем, что на заданном отрезке, наименьшее значение функции, которое равно $-7$, достигается в точке $x=2$ , а наибольшее значение, равное $9$, достигается в точке $x=0$.