Примеры решения квадратных уравнений

Квадратное уравнение

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$,

где $a$ – коэффициент перед $x^2$,

$b$ – коэффициент перед $x$,

$c$ – свободное число.

Существуют разные способы нахождения корней квадратного уравнения. Пожалуй, самый основной и распространенный способ – через вычисление дискриминанта. В этом случае он рассчитывается по формуле:

$D = b^2 – 4ac$

Если второй коэффициент уравнения четный, можно решать уравнение через $k$, тогда будет другая формула дискриминанта:

$D_1 = k^2 – ac$

Если первый коэффициент уравнения равен 1, то можно воспользоваться теоремой Виета, которая имеет 2 условия:

$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 \cdot x_2 = c$

Но если мы захотим решить уравнение основным способом, ошибки не будет. Нахождение корней уравнения через дискриминант – универсальный способ, а остальные введены для удобства вычислений.

Задача 1

Решим уравнение: $3x^2 + 7x - 6 = 0.$

Обозначим коэффициенты:

$a = 3$,

$b = 7$,

$c = -6$

Далее находим дискриминант по формуле:

$D = b^2 – 4ac$

$D = 7^2 – 4 * 3 * (-6) = 49 + 72 = 121 = {11}^2$

$D > 0$ – значит, уравнение имеет 2 корня.

Находим корни уравнения по следующим формулам:

$x_1 = (-b + √D) / 2a$
$x_2 = (-b - √D) / 2a$

Подставляем численные значения:

$x_1 = (-7 + 11) / 2*3 = 4 / 6 = \frac{2}{3}$

$x_2 = (-7 – 11) / 2*3 = -18 / 6 = -3$

Ответ: $x_1 = \frac{2}{3}$, $x_2 = -3$.

Задача 2

Решим уравнение: $-x^2 + 7x + 8 = 0.$

Обозначим коэффициенты:

$a = -1$,

$b = 7$,

$c = 8.$

Далее находим дискриминант по формуле:

$D = b^2 – 4ac$

$D = 7^2 – 4 \cdot (-1) \cdot 8 = 49 + 32 = 81 = 9^2$

$D > 0$ – значит, уравнение имеет 2 корня.

Находим корни уравнения по следующим формулам:

$x_1 = (-b + √D) / 2a$
$x_2 = (-b - √D) / 2a$

Подставляем численные значения:

$x_1 = (-7 + 9) / 2 * (-1) = 2 / (-2) = -1$
$x_2 = (-7 – 9) / 2 * (-1) = -16 / (-2) = 8$

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = 8$.

Задача 3

Решим уравнение: $4x^2 + 4x + 1 = 0.$

Обозначим коэффициенты:
$a = 4$,

$b = 4$,

$c = 1.$

Далее находим дискриминант по формуле: $D = b^2 – 4ac$

$D = 4^2 – 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 – 16 = 0$

$D = 0$ – значит, уравнение имеет 1 корень.

Находим корень уравнения по следующей формуле: $x = -b / 2a$

Подставляем численные значения:

$x = -4 / 2 \cdot 4 = -4 / 8 = -1 / 2 = -0,5$

Ответ: $x = -0,5.$

Задача 4

Решим уравнение: $2x^2 + x + 1 = 0.$

Обозначим коэффициенты:
$a = 2$,

$b = 1$,

$c = 1.$

Далее находим дискриминант по формуле: $D = b^2 – 4ac$

$D = 1^2 – 4 * 2 * 1 = 1 – 8 = -7$

$D < 0$ – значит, уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Решение квадратного уравнения через k

Если у квадратного уравнения коэффициент $b$ четный, то можно решать уравнение через $k$, при этом $k = \frac{1}{2} b$.

Задача 5

Решим уравнение: $-x^2 + 2x + 8 = 0.$

Обозначим коэффициенты:

$a = -1$,

$b = 2$,

$c = 8$

$b$ – четное.

$k = \frac {1}{2} b = 1$.

Далее находим дискриминант по формуле: $D_1 = k^2 – ac$

$D_1 = 1^2 – (-1) * 8 = 1 + 8 = 9 = 3^2$

$D_1 > 0$ – значит, уравнение имеет 2 корня.

Находим корни уравнения по следующим формулам:

$x_1 = (-k + {\sqrt D}_1) / a$
$x_2 = (-k - {\sqrt D}_1) / a$

Подставляем численные значения:

$x_1 = (-1 + 3) / (-1) = 2 / (-1) = -2$
$x_2 = (-1 – 3) / (-1) = -4 / (-1) = 4$

Ответ: x_1 = -2, x_2 = 4.

Задача 6

Решим уравнение: $9x^2 – 6x + 1 = 0.$

Обозначим коэффициенты:
$a = 9$,

$b = -6$,

$c = 1$

$b$ – четное.

$K = \frac{1}{2} b = -3.$

Далее находим дискриминант по формуле: $D_1 = k^2 – ac$

$D_1 = {(-3)}^2 – 9 * 1 = 9 – 9 = 0$

$D_1 = 0$ – значит, уравнение имеет 1 корень.

Находим корень уравнения по следующей формуле: $x = -k / a$

Подставляем численные значения:

$x = 3 / 9 = \frac{1}{3}$

Ответ: $x = \frac{1}{3}.$

Нахождение корней уравнения по теореме Виета

Если в квадратном уравнении $a = 1$, то можно найти корни уравнения по теореме Виета.

Задача 7

Найдем корни уравнения: $x^2 + 3x + 2 = 0.$

Обозначим коэффициенты:
$a = 1$,

$b = 3$,

$c = 2$.

Запишем 2 условия теоремы Виета:

$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 * x_2 = c$

Теперь методом подбора найдем 2 числа, которые будут соответствовать этим условиям. Вероятно, это числа -2 и -1.

Значит, корни уравнения равны:

$x_1 = -2$
$x_2 = -1$

Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = -1$.

Задача 8

Найдем корни уравнения: $x^2 – 5x +6 = 0.$

Обозначим коэффициенты:

$a = 1$,

$b = -5$,

$c = 6$

Запишем 2 условия теоремы Виета:

$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 * x_2 = c$

Теперь методом подбора найдем 2 числа, которые будут соответствовать этим условиям. Вероятно, это числа 2 и 3.

Значит, корни уравнения равны:

$x_1 = 2$
$x_2 = 3$

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = 3.$

Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по математике по низкой цене!

Тест по теме «Примеры решения квадратных уравнений»