Вычисление тангенса

Определение тангенса угла

Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Катетами являются стороны, которые образуют прямой угол в треугольнике, соответственно, гипотенузой является третья (самая длинная) сторона.

Для простоты запоминания можно дать такое определение: тангенс угла — это отношение дальнего от рассматриваемого угла катета к ближнему катету.

В случае с рисунком, описанным выше: $encoding="application/x-tex">\tg\alpha=\frac{a}{b}</annotation></semantics></math>$

Тангенс можно найти напрямую пользуясь данной формулой, а можно и через тригонометрические тождества. Разберем подробнее задачи.

Задача 1

В прямоугольном треугольнике катеты равны $encoding="application/x-tex">6\text{ см}</annotation></semantics></math>$ и $encoding="application/x-tex">8\text{ см}</annotation></semantics></math>$ . Найдите тангенс угла, близлежащего к меньшей стороне.

Решение

$a = 8$
$b = 6$

$encoding="application/x-tex">\tg\alpha=\frac{a}{b}=\frac{8}{6}\approx1.33</annotation></semantics></math>$

Ответ

$1.33$

Формулу:

$encoding="application/x-tex">\tg\alpha=\frac{a}{b}</annotation></semantics></math>$

Можно записать в следующем виде:

$encoding="application/x-tex">\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}</annotation></semantics></math>$

Проверим истинность данного выражения. Подставим вместо синуса и косинуса их определения:

$encoding="application/x-tex">\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{b}</annotation></semantics></math>$

Получили первичное равенство, значит выражение для тангенса через отношение синуса к косинусу верно.

Решим задачу, пользуясь этой формулой.

Задача 2

По условию задачи известен косинус угла, равный $encoding="application/x-tex">\frac{\sqrt{3}}{2}</annotation></semantics></math>$ и синус того же угла, равный $encoding="application/x-tex">\frac{1}{2}</annotation></semantics></math>$ . Найдите тангенс данного угла.

Решение

$encoding="application/x-tex">\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}</annotation></semantics></math>$

$encoding="application/x-tex">\sin\alpha=\frac{1}{2}</annotation></semantics></math>$

$encoding="application/x-tex">\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}</annotation></semantics></math>$

Ответ

$encoding="application/x-tex">\frac{1}{\sqrt{3}}</annotation></semantics></math>$

Еще одно тождество помогает решить задачи, связанные с тангенсом:

$encoding="application/x-tex">1+\tg^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}</annotation></semantics></math>$

Оно появляется путем деление каждого слагаемого основного тождества тригонометрии на квадрат косинуса.

Задача 3

Известен квадрат косинуса угла в прямоугольном треугольнике, равный $0.8$ . Нужно найти тангенс этого угла.

Решение

$encoding="application/x-tex">\cos^2\alpha=0.8</annotation></semantics></math>$

$encoding="application/x-tex">1+\tg^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}</annotation></semantics></math>$

$encoding="application/x-tex">1+\tg^2\alpha=\frac{1}{0.8}</annotation></semantics></math>$

$encoding="application/x-tex">1+\tg^2\alpha=1.25</annotation></semantics></math>$

$encoding="application/x-tex">\tg^2\alpha=0.25</annotation></semantics></math>$

$encoding="application/x-tex">\tg\alpha=\sqrt{0.25}</annotation></semantics></math>$

$encoding="application/x-tex">\tg\alpha=0.5</annotation></semantics></math>$

Ответ

$0.5$

Заказать статью по математике у экспертов биржи Студворк!

Тест по теме “Вычисление тангенса”

Комментарии
0

Предыдущая статья

Следующая статья

Интересные статьи за сегодня

Вычисление тангенса

Тест по теме “Вычисление тангенса”

Комментарии 0

Предыдущая статья

Следующая статья

Интересные статьи за сегодня

Комментарии
0