Перевод градусов в радианы

Угол может измеряться следующими величинами:

Градусами (и соответствующими ему величинами: угловыми минутами и секундами);
Радианами.

Градусная мера угла

Если взять развернутый угол (это два прямых угла) и поделить его на 180 частей, то одна такая часть будет называться одним градусом. Для того, чтобы измерить градусную меру угла, необходимо посчитать, сколько раз 1 градус входит в данный угол. Полученное число и будет ответом.

Если угол таков, что его нельзя измерить целым числом, либо же он меньше единичного угла, то используют такие меры измерения как угловые минуты и секунды.

Если градус поделить на 60 частей, то одной такой частью будет минута. В свою же очередь, если минуту разделить на те же 60 частей, то полученным числом будет 1 секунда.

Радианная мера угла

Радианом называют угол, образованный дугой окружности длинной равной радиусу этой окружности.

Длина окружности равна:

$encoding="application/x-tex">l=2\cdot\pi\cdot r</annotation></semantics></math>$ ,

где $r$ — радиус этой окружности.

Тогда, разделив на радиус, получаем, что полный угол в радианах равен:

$encoding="application/x-tex">\frac{l}{r}=\frac{2\cdot\pi\cdot r}{r}=2\cdot\pi\text{ радиан}</annotation></semantics></math>$

В градусах этот же угол равен, как известно, $encoding="application/x-tex">360^{\circ}</annotation></semantics></math>$ .

Отсюда находим связь между радианами и градусами:

$encoding="application/x-tex">2\cdot\pi\text{ радиан}=360^{\circ}</annotation></semantics></math>$

Это та главная формула, которая нужна, чтобы переводить градусы в радианы и наоборот.

Один радиан равен:

$encoding="application/x-tex">1\text{ радиан}=\frac{360^{\circ}}{2\cdot\pi}\approx57.3^{\circ}</annotation></semantics></math>$

Один радиан в минутах:

$encoding="application/x-tex">1\text{ радиан}=\frac{360^{\circ}}{2\cdot\pi}\cdot60\approx3438'</annotation></semantics></math>$

Один радиан в секундах:

$encoding="application/x-tex">1\text{ радиан}=\frac{360^{\circ}}{2\cdot\pi}\cdot60\cdot60\approx206280''</annotation></semantics></math>$

Если по условию известна градусная мера угла, то чтобы перевести ее в радианную, нужно сделать следующие действия: умножить ее на $encoding="application/x-tex">\pi</annotation></semantics></math>$ и разделить на 180.

Перевод градусов в радианы

$encoding="application/x-tex">y\text{ радиан}=\frac{\pi}{180}\cdot x</annotation></semantics></math>$

$x$ — значение угла в градусах;
$y$ — значение того же угла в радианах.

Пример 1

Переведите 45 градусов в радианную меру измерения. Ответ округлите до десятой доли.

Решение

$encoding="application/x-tex">45^{\circ}=\frac{\pi}{180}\cdot 45\text{ радиан}\approx0.8\text{ радиан}</annotation></semantics></math>$

Ответ

$encoding="application/x-tex">0.8\text{ радиан}</annotation></semantics></math>$

Задача

Земля совершила треть от половины оборота вокруг Солнца. На какой угол в радианах она повернулась?

Решение

Найдем сначала этот угол в градусах. Полный угол составляет $encoding="application/x-tex">360^\circ</annotation></semantics></math>$ . Половина от полного оборота это $encoding="application/x-tex">180^{\circ}</annotation></semantics></math>$ . Нам же нужна треть этого угла, то есть:

$encoding="application/x-tex">\frac{180^\circ}{3}=60^\circ</annotation></semantics></math>$

Земля отклонилась на угол $encoding="application/x-tex">60^\circ</annotation></semantics></math>$ от своего начального положения. Переведем теперь этот угол в радианы:

$encoding="application/x-tex">60^\circ=\frac{\pi}{180}\cdot 60\text{ радиан}\approx1\text{ радиан}</annotation></semantics></math>$

Решение

$encoding="application/x-tex">1\text{ радиан}</annotation></semantics></math>$

Перевод радиан в градусы

Чтобы перевести радианы в градусы, нужно умножить угол в радианах на 180 и разделить на $encoding="application/x-tex">\pi</annotation></semantics></math>$ .

Перевод радиан в градусы

$encoding="application/x-tex">y^{\circ}=\frac{180}{\pi}\cdot x</annotation></semantics></math>$

$x$ — значение угла в радианах;
$y$ — значение того же угла в градусах.

Пример 2

Переведите 3 радиана в градусную меру угла.

Решение

$encoding="application/x-tex">3\text{ радиана}=\frac{180}{\pi}\cdot3\approx172^\circ</annotation></semantics></math>$

Ответ

$encoding="application/x-tex">172^\circ</annotation></semantics></math>$

Статья по математике на заказ от проверенных исполнителей!

Перевод градусов в радианы и наоборот

Градусная мера угла

Радианная мера угла