Тригонометрические уравнения

Уравнение называется тригонометрическим, если его неизвестные содержатся под знаками тригонометрических функций.

Для решения таких уравнений требуется находить множество всех решений. В качестве примеров начнем с самых простых случаев. Уравнения $cos x = 0,5$ удовлетворяют значения $x = π/3$ и $x = -π/3$:

А поскольку для каждого действительного значения $x$ и целого $n$ всегда $cos x = cos (x + 2πn)$, то корнями данного уравнения $cos x = 0,5$ является не только числа $π/3 и -π/3$, но и $π/3 + 2πn$ и $-π/3+ 2πn$, где $n$ – любое целое число. Ответ записывают так:
$x = ± π/3 + 2πn, n ∈ Ζ$.

Можно решить уравнение $cos x = 0,5$ и графически, если построить в одной системе координат графики функций $y = cos x$ и $y = 0,5$.

Арккосинус

Уравнения $cos x = 0,6$ можно решить с помощью калькулятора– вычислив на нем значение арккосинуса:

$arccos 0,6 = 0,927$.

Итак, имеем множество приближенных решений: $x =± 0,927 + 2πn, n ∈ Ζ$.

Арккосинусом числа $a$ называют угол или число из промежутка $[0; π]$, косинус которого равен $a$, при $|a| ≤ 1$.

Например, $arccos 1 = 0$, $arccos 0,5 = 5$, $arccos 0 = 5$, $arccos (-1) = π$.

Множество решений уравнения $cos x = 0,6$ можно записать так:

$x = ± arccos 0,6 + 2πn, n ∈ Ζ$.

Вообще, уравнения $cos x = a$ при |a| > 1 решений не имеет, а при $|a| ≤ 1$ имеет множество его решений:

$x = ± arccos a + 2πn, n ∈ Ζ$.

Арксинус и арктангенс

Подобно арккосинусу обозначают арксинус и арктангенс.

Арксинусом числа а называют угол или число из промежутка [-π/2; π/2] синус которого равен a, при |α| ≤ 1.

Например:

$arcsin 1 = 0, arcsin 0,5 = π/3, arcsin 0 = π/2, arcsin (-1) = π$.

Уравнения $sin x = 0,5$ имеет решения $x = π/6$ и $x = π - π/6$:

Поскольку функция $sin x$ периодическая с наименьшим положительным периодом $2π$, то данное уравнение имеет две серии решений: $x = π/6 + 2πn$ и $x = 5π/6 + 2πn, n ∈ Ζ$.

Решим еще уравнения $sin x = -0,4$. Два его решения $x = arcsin (-0,4)$ и $x = π - arcsin (-0,4)$

Все его решения:

$x_1 = arcsin (-0,4) + 2πn$ и $x_2 = π - arcsin (-0,4) + 2πn, n ∈ Ζ$.

Вообще уравнения $sin x = a$ не имеет решений при |а| > 1; если и $|а|≤1$, то множество его решений состоит из двух серий:

$x_1 = arcsin a + 2πn$ и $x_2 = π - arcsin a + 2πn, n ∈ Ζ$.

Итак, когда множитель при $π$ парный или непарный, то $arcsin a$ берется в соответствии с плюсом или минусом.

Единичная окружность

Уравнения $sin x = a$ и $cos x = a$, если $a$ равно 0, 1 или -1, можно решать и по общим формулам, но удобнее – представляя единичную окружность:

Например, уравнение $sin x = 1$ имеет множество решений $x = π/2 + 2πn$; $cos x = 0$ имеет множество решений $x = π/2 + πn$. Здесь и случае иных подобных равенств $n$ – произвольное целое число.

Уравнения с тангенсом

Уравнения $tg x = a$ имеет решения при любом действительном $a$. Одно его решение $x = arctg a$.

Арктангенсом числа $a$ называют угол или число из промежутка (-π/2; π/2) тангенс которого равен $a$. Обозначают $arctg a$.

Поскольку функция $tg x$ периодическая с наименьшим положительным периодом $π$, то множество всех решений данного уравнения $x = arctg a + πn, n ∈ Ζ$.

Решая сложные тригонометрические уравнения, их сводят к более простым, как это обычно делают при решении алгебраических уравнений. Некоторые тригонометрические уравнения сводят к квадратным.

Не знаете, где заказать написание статьи по математике на заказ? Авторы Студворк к вашим услугам!

Тест по теме «Тригонометрические уравнения»